داده های مرجع برای مماس (tg x) و کوتانژانت (ctg x). تعریف هندسی، خواص، نمودارها، فرمول ها. جدول مماس ها و کوتانژانت ها، مشتقات، انتگرال ها، بسط سری. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده ارتباط با توابع هذلولی

تعریف هندسی

|BD| - طول قوس دایره ای با مرکز در نقطه A.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.

مماس ( قهوهای مایل به زرد α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول پای مجاور |AB| .

کوتانژانت ( ctg α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول پای مقابل |پیش از میلاد| .

مماس

جایی که n- کل

در ادبیات غربی، مماس را به صورت زیر نشان می دهند:
.
;
;
.

نمودار تابع مماس، y = tan x

کوتانژانت

جایی که n- کل

در ادبیات غربی، کوتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
نمادهای زیر نیز پذیرفته شده است:
;
;
.

نمودار تابع کتانژانت، y = ctg x

خواص مماس و کوتانژانت

دوره ای

توابع y = tg xو y = ctg xتناوبی با دوره π هستند.

برابری

توابع مماس و کتانژانت فرد هستند.

حوزه های تعریف و ارزش، افزایش، کاهش

توابع مماس و کتانژانت در حوزه تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی مماس و کوتانژانت در جدول ارائه شده است ( n- کل).

	y = tg x	y = ctg x
دامنه و تداوم
محدوده ارزش ها	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
در حال افزایش است		-
نزولی	-
افراط	-	-
صفر، y = 0
نقاط قطع را با محور ترتیبی، x = 0	y = 0	-

فرمول ها

عبارات با استفاده از سینوس و کسینوس

; ;
; ;
;

فرمول های مماس و کتانژانت از مجموع و تفاوت

به عنوان مثال، فرمول های باقی مانده به راحتی به دست می آیند

محصول مماس ها

فرمول مجموع و تفاضل مماس ها

این جدول مقادیر مماس ها و کوتانژانت ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; .

.
مشتق از مرتبه n با توجه به متغیر x تابع:
.
استخراج فرمول های مماس > > > ; برای کوتانژانت > > >

انتگرال ها

گسترش سری

برای به دست آوردن انبساط مماس در توان های x، باید چندین ترم بسط را در یک سری توان برای توابع بگیرید. گناه xو cos xو این چند جمله ای ها را بر یکدیگر تقسیم کنید، . این فرمول های زیر را تولید می کند.

در .

در .
جایی که Bn- اعداد برنولی آنها یا از رابطه عود تعیین می شوند:
;
;
جایی که .
یا طبق فرمول لاپلاس:

توابع معکوس

توابع معکوسبه مماس و کوتانژانت به ترتیب قوس و مماس هستند.

Arctangent، arctg

، جایی که n- کل

Arccotangent، arcctg

، جایی که n- کل

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
جی کورن، کتابچه راهنمای ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان، 2012.

جدول مقادیر توابع مثلثاتی

توجه داشته باشید. این جدول از مقادیر تابع مثلثاتی از علامت √ برای نشان دادن استفاده می کند ریشه دوم. برای نشان دادن کسری، از علامت "/" استفاده کنید.

همچنین ببینیدمواد مفید:

برای تعیین مقدار یک تابع مثلثاتی، آن را در تقاطع خط نشان دهنده تابع مثلثاتی پیدا کنید. به عنوان مثال، سینوس 30 درجه - ما به دنبال ستون با عنوان sin (سینوس) می گردیم و تقاطع این ستون جدول را با ردیف "30 درجه" پیدا می کنیم، در تقاطع آنها نتیجه را می خوانیم - یک نیمه. به همین ترتیب ما پیدا می کنیم کسینوس 60درجه، سینوس 60درجه (یک بار دیگر، در تقاطع ستون sin و خط 60 درجه، مقدار sin 60 = √3/2 را پیدا می کنیم) و غیره. مقادیر سینوس ها، کسینوس ها و مماس های دیگر زوایای "محبوب" به همین ترتیب یافت می شوند.

سینوس پی، کسینوس پی، مماس پی و زوایای دیگر بر حسب رادیان

جدول کسینوس، سینوس و مماس زیر نیز برای یافتن مقدار توابع مثلثاتی مناسب است که آرگومان آنها به رادیان داده می شود. برای این کار از ستون دوم مقادیر زاویه استفاده کنید. به لطف این، می توانید مقدار زوایای محبوب را از درجه به رادیان تبدیل کنید. برای مثال، زاویه 60 درجه را در خط اول پیدا کرده و مقدار آن را بر حسب رادیان در زیر آن بخوانیم. 60 درجه برابر با π/3 رادیان است.

عدد پی به طور واضح وابستگی محیط را به درجه اندازه گیری زاویه بیان می کند. بنابراین رادیان پی برابر با 180 درجه است.

هر عددی که بر حسب پی (رادیان) بیان می شود را می توان به راحتی با جایگزینی عدد پی (π) با 180 به درجه تبدیل کرد..

مثال ها:
1. سینو پی.
sin π = sin 180 = 0
بنابراین، سینوس پی همان سینوس 180 درجه و برابر با صفر است.

2. کسینوس پی.
cos π = cos 180 = -1
بنابراین کسینوس پی همان کسینوس 180 درجه و برابر با منهای یک است.

3. مماس پی
tg π = tg 180 = 0
بنابراین مماس پی همان مماس 180 درجه و برابر با صفر است.

جدول مقادیر سینوس، کسینوس، مماس برای زوایای 0 - 360 درجه (مقادیر رایج)

مقدار زاویه α (درجه)	مقدار زاویه α به رادیان (از طریق پی)	گناه (سینوس)	cos (کسینوس)	tg (مماس)	ctg (کتانژانت)	ثانیه (بخشی)	cosec (همراهی)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

اگر در جدول مقادیر توابع مثلثاتی یک خط تیره به جای مقدار تابع (مماس (tg) 90 درجه، کتانژانت (ctg) 180 درجه نشان داده شده است، به این معنی است که وقتی ارزش داده شدهاندازه گیری درجه یک تابع زاویه مقدار خاصی ندارد. اگر خط تیره وجود نداشته باشد، سلول خالی است، یعنی هنوز مقدار لازم را وارد نکرده ایم. ما علاقه مندیم که کاربران برای چه سؤالاتی به ما مراجعه می کنند و جدول را با مقادیر جدید تکمیل می کنند، علیرغم این واقعیت که داده های فعلی در مورد مقادیر کسینوس ها، سینوس ها و مماس های رایج ترین مقادیر زاویه کاملاً برای حل اکثر موارد کافی است. چالش ها و مسائل.

جدول مقادیر توابع مثلثاتی sin، cos، tg برای محبوب ترین زوایا
0، 15، 30، 45، 60، 90 ... 360 درجه
(مقادیر عددی "بر اساس جداول Bradis")

مقدار زاویه α (درجه)	مقدار زاویه α بر حسب رادیان	گناه (سینوس)	cos (کسینوس)	tg (تانژانت)	ctg (کتانژانت)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت یک زاویه به شما کمک می کند تا مثلث قائم الزاویه را درک کنید.

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این ضلع \(AC\) است). پاها دو ضلع باقیمانده \(AB\) و \(BC\) (آنهایی که مجاور زاویه قائم هستند) هستند و اگر پاها را نسبت به زاویه \(BC\) در نظر بگیریم، ساق \(AB\) برابر است با پای مجاور، و پای \(BC\) مقابل است. بنابراین، بیایید به این سؤال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

سینوس زاویه- این نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

در مثلث ما:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

در مثلث ما:

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:

برای مثال کسینوس زاویه \(\beta\) را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث \(ABC\): \(\cos \بتا =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)، اما می توانیم کسینوس زاویه \(\beta \) را از مثلث \(AHI \) محاسبه کنیم: \(\cos \بتا =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

برای مثلث \(ABC \) که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(آرایه) \)

خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه \(\beta \) محاسبه کنید.

پاسخ ها: \(\sin \ \بتا =0.6;\ \cos \ \بتا =0.8;\ tg\ \بتا =0.75;\ ctg\ \بتا =\dfrac(4)(3) \).

دایره واحد (مثلثی).

با درک مفاهیم درجه و رادیان، دایره ای با شعاع برابر با \(1\) در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک است، در حالی که مرکز دایره در مبدا مختصات قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) ثابت است (در مثال ما، این شعاع \(AB\)) است.

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات در امتداد محور \(x\) و مختصات در امتداد محور \(y\). این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلث \(ACG\) را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است زیرا \(CG\) بر محور \(x\) عمود است.

مقدار \(\cos \\alpha \) از مثلث \(ACG \) چقدر است؟ درست است \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). علاوه بر این، می دانیم که \(AC\) شعاع دایره واحد است که به معنای \(AC=1\) است. بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

مقدار \(\sin \\alpha \) از مثلث \(ACG \) چقدر است؟ خوب البته، \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! مقدار شعاع \(AC\) را در این فرمول جایگزین کنید و دریافت کنید:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

بنابراین، آیا می توانید بگویید نقطه \(C\) متعلق به دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که \(\cos \\alpha \) و \(\sin \alpha \) فقط اعداد هستند چه؟ \(\cos \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ خوب، البته، مختصات \(x\)! و \(\sin \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، \(y\) را هماهنگ کنید! بنابراین نکته \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

پس \(tg \alpha \) و \(ctg \alpha \) با چه چیزی برابرند؟ درست است، بیایید از تعاریف مربوط به مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و آن را بدست آوریم \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \)، آ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : زاویه (در مجاورت زاویه \(\بتا \)). مقدار سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چقدر است \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ زاویه ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(آرایه) \)

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات \(y\) مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات \(x\) ; و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که کل چرخش بردار شعاع اطراف دایره \(360()^\circ \) یا \(2\pi \) است. آیا می توان بردار شعاع را با \(390()^\circ \) یا با \(-1140()^\circ \) چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! در حالت اول، \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)بنابراین، بردار شعاع یک دور کامل ایجاد می کند و در موقعیت \(30()^\circ \) یا \(\dfrac(\pi )(6) \) متوقف می شود.

در مورد دوم، \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می کند و در موقعیت \(-60()^\circ \) یا \(-\dfrac(\pi )(3) \) متوقف می شود.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با \(360()^\circ \cdot m\) یا \(2\pi \cdot m\) متفاوت هستند (که \(m\) هر عدد صحیحی است) با همان موقعیت بردار شعاع مطابقت دارد.

شکل زیر زاویه \(\beta =-60()^\circ \) را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه است \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)و غیره. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی نوشت \(\beta +360()^\circ \cdot m\)یا \(\beta +2\pi \cdot m\) (که در آن \(m\) هر عدد صحیح است)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(آرایه) \)

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(آرایه) \)

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\پایان(آرایه)\)

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: گوشه در \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)مربوط به نقطه ای با مختصات \(\left(0;1 \right) \) است، بنابراین:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- وجود ندارد؛

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

در ادامه، با رعایت همین منطق، متوجه می شویم که گوشه ها در \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )با نقاط دارای مختصات مطابقت دارد \(\left(-1;0 \right),\text()\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \راست) \)، به ترتیب. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\arrow \text(ctg)\ \pi \)- وجود ندارد

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\right arrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- وجود ندارد

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\nightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- وجود ندارد

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- وجود ندارد

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(باید به خاطر بسپارید یا بتوانید آن را نمایش دهید!! \) !}

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6)،\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)در جدول زیر، باید به خاطر داشته باشید:

نترسید، اکنون یک نمونه از حفظ نسبتاً ساده مقادیر مربوطه را به شما نشان خواهیم داد:

برای استفاده از این روش، به خاطر سپردن مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه حیاتی است. \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) و همچنین مقدار مماس زاویه در \(30()^\circ \) . با دانستن این مقادیر \(4\) ، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند ، یعنی:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\پایان(آرایه)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)، با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). عدد "\(1 \)" با \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) و مخرج "\(\sqrt(\text(3)) \)" مطابقت دارد \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است فقط مقادیر \(4\) را از جدول به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی یک دایره

آیا با دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلیبرای یافتن مختصات یک نقطه به عنوان مثال، در اینجا یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما این نکته داده شده است \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- مرکز دایره شعاع دایره \(1.5\) است. لازم است مختصات نقطه \(P\) را که با چرخش نقطه \(O\) به میزان \(\delta \) درجه بدست می آید پیدا کنید.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات \(x\) نقطه \(P\) با طول قطعه \(TP=UQ=UK+KQ\) مطابقت دارد. طول قطعه \(UK\) مطابق با مختصات \(x\) مرکز دایره است، یعنی برابر است با \(3\). طول قطعه \(KQ\) را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

سپس برای نقطه \(P\) مختصات داریم \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه \(P\) پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

بنابراین، در نمای کلیمختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(آرایه) \)، جایی که

\(((x)_(0))، ((y)_(0)) \) - مختصات مرکز دایره،

\(r\) - شعاع دایره،

\(\delta \) - زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(آرایه) \)

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

در این مقاله نحوه دادن را نشان خواهیم داد تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه و عدد در مثلثات. در اینجا ما در مورد نمادها صحبت می کنیم، نمونه هایی از ورودی ها را ارائه می دهیم و تصاویر گرافیکی ارائه می دهیم. در خاتمه، اجازه دهید بین تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در مثلثات و هندسه مشابهی ترسیم کنیم.

پیمایش صفحه.

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت

بیایید ببینیم که چگونه ایده سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در یک درس ریاضی مدرسه شکل می گیرد. در درس هندسه تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه آورده شده است. و بعدها مثلثاتی مورد مطالعه قرار می گیرد که در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش و عدد صحبت می کند. بیایید همه این تعاریف را ارائه کنیم، مثال بزنیم و نظرات لازم را ارائه دهیم.

زاویه تند در مثلث قائم الزاویه

از درس هندسه تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه را می دانیم. آنها به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه داده می شوند. اجازه دهید فرمول های آنها را ارائه دهیم.

تعریف.

سینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهنسبت طرف مقابل به هیپوتنوز است.

تعریف.

کسینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهنسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

تعریف.

مماس زاویه تند در مثلث قائم الزاویه- این نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور است.

تعریف.

کتانژانت یک زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه- این نسبت طرف مجاور به طرف مقابل است.

نامگذاری های سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نیز در آنجا معرفی شده است - به ترتیب sin، cos، tg و ctg.

به عنوان مثال، اگر ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست C باشد، سینوس زاویه حاد A برابر است با نسبت ضلع مقابل BC به هیپوتانوس AB، یعنی sin∠A=BC/AB.

این تعاریف به شما امکان می دهد مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد را از طول های شناخته شده اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و همچنین از آن محاسبه کنید. ارزش های شناخته شدهطول اضلاع دیگر را با استفاده از سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت و طول یکی از اضلاع پیدا کنید. به عنوان مثال، اگر می دانستیم که در یک مثلث قائم الزاویه، پایه AC برابر با 3 و فرض AB برابر با 7 است، می توانیم مقدار کسینوس زاویه تند A را با تعریف محاسبه کنیم: cos∠A=AC/ AB=3/7.

زاویه چرخش

در مثلثات، آنها شروع به نگاه گسترده تر به زاویه می کنند - آنها مفهوم زاویه چرخش را معرفی می کنند. بزرگی زاویه چرخش، بر خلاف زاویه حاد، به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود.

در این پرتو، تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نه از یک زاویه حاد، بلکه از یک زاویه با اندازه دلخواه - زاویه چرخش، ارائه شده است. آنها از طریق مختصات x و y نقطه A 1 داده می شوند که به اصطلاح نقطه شروع A(1, 0) پس از چرخش آن با زاویه α حول نقطه O - ابتدای سیستم مختصات دکارتی مستطیلی به آن می رود. و مرکز دایره واحد.

تعریف.

سینوس زاویه چرخشα مختص نقطه A 1 است، یعنی sinα=y.

تعریف.

کسینوس زاویه چرخشα را آبسیسا نقطه A 1 می نامند، یعنی cosα=x.

تعریف.

مماس زاویه چرخشα نسبت ترتیب نقطه A 1 به ابسیسا آن است، یعنی tanα=y/x.

تعریف.

کتانژانت زاویه چرخشα نسبت آبسیسا نقطه A 1 به مختصات آن است، یعنی ctgα=x/y.

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می‌شوند، زیرا ما همیشه می‌توانیم ابسیسا و مختصات نقطه را تعیین کنیم که با چرخش نقطه شروع با زاویه α به دست می‌آید. اما مماس و کتانژانت برای هیچ زاویه ای تعریف نشده اند. مماس برای زوایای α تعریف نشده است که در آن نقطه شروع به نقطه ای با ابسیسا صفر (0, 1) یا (0, -1) می رود و این در زوایای 90°+180° k, k∈Z (π) رخ می دهد. /2+π·k راد). در واقع، در چنین زوایای چرخشی، عبارت tgα=y/x معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. در مورد کوتانژانت، برای زوایای α که در آن نقطه شروع به نقطه صفر (1، 0) یا (-1، 0) می رود، تعریف نشده است، و این برای زوایای 180 درجه k، k ∈Z رخ می دهد. (π·k راد).

بنابراین، سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شود، مماس برای همه زوایا به جز 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) و کوتانژانت برای همه زوایا به جز 180°·k تعریف می شود. ، k∈Z (π·k راد).

این تعاریف شامل نام‌هایی است که قبلاً برای ما شناخته شده‌اند sin، cos، tg و ctg، آنها همچنین برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش استفاده می‌شوند (گاهی اوقات می‌توانید عناوین tan و cot مربوط به مماس و کتانژانت را پیدا کنید) . بنابراین سینوس زاویه چرخش 30 درجه را می توان به صورت sin30° نوشت، ورودی های tg(-24°17') و ctgα مربوط به مماس زاویه چرخش 24- درجه 17 دقیقه و همتجانس زاویه چرخش α هستند. . به یاد بیاورید که هنگام نوشتن اندازه رادیان یک زاویه، نام "rad" اغلب حذف می شود. برای مثال، کسینوس زاویه چرخش سه پی راد معمولاً cos3·π نشان داده می شود.

در خاتمه این نکته، شایان ذکر است که هنگام صحبت از سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش، اغلب عبارت «زاویه چرخش» یا کلمه «چرخش» حذف می‌شود. یعنی به جای عبارت "سینوس زاویه آلفا" معمولا از عبارت "سینوس زاویه آلفا" یا حتی کوتاه تر از آن "سینوس آلفا" استفاده می شود. همین امر در مورد کسینوس، مماس و کوتانژانت نیز صدق می کند.

همچنین خواهیم گفت که تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه با تعاریفی که برای سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت از زاویه چرخش از 0 تا 90 درجه ارائه شده است، مطابقت دارد. ما این را توجیه خواهیم کرد.

شماره

تعریف.

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد t عددی برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش بر حسب t رادیان است.

به عنوان مثال، کسینوس عدد 8·π طبق تعریف، عددی برابر با کسینوس زاویه 8·π rad است. و کسینوس یک زاویه 8·π rad برابر با یک است، بنابراین، کسینوس عدد 8·π برابر با 1 است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. این شامل این واقعیت است که هر عدد واقعی t با یک نقطه از دایره واحد با مرکز در مبدا سیستم مختصات مستطیلی همراه است و سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می شوند. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه یک تناظر بین اعداد واقعی و نقاط روی یک دایره برقرار می شود:

• به عدد 0 نقطه شروع A (1, 0) اختصاص داده شده است.
• عدد مثبت t با نقطه ای از دایره واحد مرتبط است که اگر در امتداد دایره از نقطه شروع در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول t را طی کنیم به آن خواهیم رسید.
• عدد منفی t با نقطه ای از دایره واحد مرتبط است که اگر در امتداد دایره از نقطه شروع در جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول |t| .

حال به سراغ تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت عدد t می رویم. فرض کنید عدد t مربوط به نقطه ای از دایره A 1 (x, y) است (به عنوان مثال، عدد &pi/2؛ مربوط به نقطه A 1 (0، 1) است).

تعریف.

سینوس عدد t مختص نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی sint=y.

تعریف.

کسینوس عدد t را ابسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد t می نامند، یعنی هزینه=x.

تعریف.

مماس عدد t نسبت مجمل به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی tgt=y/x. در فرمول معادل دیگری، مماس یک عدد t نسبت سینوس این عدد به کسینوس است، یعنی tgt=sint/cost.

تعریف.

کتانژانت عدد t نسبت آبسیسا به مختص یک نقطه در دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی ctgt=x/y. فرمول دیگر این است: مماس عدد t نسبت کسینوس عدد t به سینوس عدد t است: ctgt=cost/sint.

در اینجا متذکر می شویم که تعاریف ارائه شده با تعریف ارائه شده در ابتدای این پاراگراف مطابقت دارد. در واقع، نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t با نقطه به دست آمده از چرخش نقطه شروع با زاویه t رادیان منطبق است.

هنوز هم ارزش روشن شدن این نکته را دارد. فرض کنید ورودی sin3 را داریم. چگونه می توانیم بفهمیم که در مورد سینوس عدد 3 صحبت می کنیم یا سینوس زاویه چرخش 3 رادیان؟ این معمولاً از زمینه مشخص است، در غیر این صورت احتمالاً اهمیت اساسی ندارد.

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

با توجه به تعاریف ارائه شده در پاراگراف قبل، هر زاویه چرخش α به طور کامل مطابقت دارد ارزش خاص sinα همان مقدار cosα است. علاوه بر این، تمام زوایای چرخش غیر از 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) با مقادیر tgα و مقادیر دیگر از 180°k، k∈Z (πk rad) مطابقت دارند - مقادیر از ctgα. بنابراین sinα، cosα، tanα و ctgα توابعی از زاویه α هستند. به عبارت دیگر، اینها توابع آرگومان زاویه ای هستند.

ما می توانیم به طور مشابه در مورد توابع سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک آرگومان عددی صحبت کنیم. در واقع، هر عدد واقعی t مربوط به یک مقدار بسیار خاص سینت و همچنین هزینه است. علاوه بر این، همه اعداد غیر از π/2+π·k، k∈Z با مقادیر tgt و اعداد π·k، k∈Z - مقادیر ctgt مطابقت دارند.

توابع سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نامیده می شوند توابع مثلثاتی اساسی.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که آیا با توابع مثلثاتی یک آرگومان زاویه ای سروکار داریم یا یک آرگومان عددی. در غیر این صورت، می‌توانیم متغیر مستقل را هم به عنوان معیار زاویه (آگومان زاویه‌ای) و هم یک استدلال عددی در نظر بگیریم.

با این حال، در مدرسه ما عمدتاً توابع عددی را مطالعه می کنیم، یعنی توابعی که آرگومان های آنها و همچنین مقادیر تابع متناظر آنها اعداد هستند. بنابراین، اگر به طور خاص در مورد توابع صحبت می کنیم، توصیه می شود که توابع مثلثاتی را به عنوان توابعی از آرگومان های عددی در نظر بگیریم.

رابطه بین تعاریف از هندسه و مثلثات

اگر زاویه چرخش α را از 0 تا 90 درجه در نظر بگیریم، آنگاه تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش در زمینه مثلثات کاملاً با تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک مطابقت دارد. زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه که در درس هندسه آورده شده است. بیایید این را توجیه کنیم.

اجازه دهید دایره واحد را در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Oxy به تصویر بکشیم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را علامت گذاری کنیم. بیایید آن را با زاویه α در محدوده 0 تا 90 درجه بچرخانیم، نقطه A 1 (x, y) را به دست می آوریم. بگذارید عمود A 1 H را از نقطه A 1 به محور Ox رها کنیم.

به راحتی می توان دید که در یک مثلث قائم الزاویه، زاویه A 1 OH برابر با زاویه چرخش α است، طول پایه OH مجاور این زاویه برابر با آبسیسا نقطه A 1 است، یعنی |OH |=x، طول پایه A 1 H در مقابل زاویه برابر است با مختص نقطه A 1، یعنی |A 1 H|=y، و طول هیپوتانوس OA 1 برابر با یک است، چون شعاع دایره واحد است. سپس طبق تعریف هندسه، سینوس زاویه تند α در مثلث قائم الزاویه A 1 OH برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز، یعنی sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. و طبق تعریف از مثلثات، سینوس زاویه چرخش α برابر است با مختصات نقطه A 1، یعنی sinα=y. این نشان می دهد که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه معادل تعیین سینوس زاویه چرخش α در زمانی است که α از 0 تا 90 درجه است.

به طور مشابه، می توان نشان داد که تعاریف کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه حاد α با تعاریف کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش α مطابقت دارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. هندسه. پایه های 7-9: کتاب درسی برای آموزش عمومی مؤسسات / [L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev و غیره]. - چاپ بیستم م.: آموزش و پرورش، 1389. - 384 ص: بیمار. - شابک 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.هندسه: کتاب درسی. برای پایه های 7-9 آموزش عمومی موسسات / A. V. Pogorelov. - چاپ دوم - م.: آموزش و پرورش، 2001. - 224 ص: بیمار. - شابک 5-09-010803-X.
3. جبر و توابع ابتدایی: آموزشبرای دانش آموزان پایه نهم دبیرستان/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ویرایش شده توسط دکتر علوم فیزیکی و ریاضی O. N. Golovin - ویرایش 4. م.: آموزش و پرورش، 1969.
4. جبر:کتاب درسی برای کلاس نهم میانگین مدرسه/یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova; اد. S. A. Telyakovsky - M.: آموزش و پرورش، 1990. - 272 pp.: ill
5. جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای پایه های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov - ویرایش 14 - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 pp.
6. موردکوویچ A.G.جبر و آغاز تحلیل. پایه 10. در 2 قسمت: کتاب درسی برای موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ویرایش چهارم، اضافه کنید. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. شابک 978-5-346-00792-0.
7. جبرو شروع آنالیز ریاضی پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح /[Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ ویرایش A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم - I.: آموزش و پرورش، 1389.- 368 ص: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. باشماکوف ام. آی.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای پایه های 10-11 میانگین مدرسه - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1372. - 351 ص: بیمار. - شابک 5-09-004617-4.
9. گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 ص.، ill.

مثلثات - بخش علوم ریاضیکه به بررسی توابع مثلثاتی و کاربرد آنها در هندسه می پردازد. توسعه مثلثات در یونان باستان آغاز شد. در قرون وسطی، دانشمندان خاورمیانه و هند سهم مهمی در توسعه این علم داشتند.

این مقاله به مفاهیم اساسیو تعاریف مثلثات در مورد تعاریف توابع مثلثاتی اساسی بحث می کند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. معنای آنها در زمینه هندسه توضیح و نشان داده شده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در ابتدا تعاریف توابع مثلثاتی که استدلال آنها زاویه است بر حسب نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بیان شد.

تعاریف توابع مثلثاتی

سینوس یک زاویه (sin α) نسبت پای مقابل این زاویه به هیپوتنوز است.

کسینوس زاویه (cos α) نسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

مماس زاویه (t g α) - نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت زاویه (c t g α) - نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

این تعاریف برای زاویه تند مثلث قائم الزاویه ارائه شده است!

بیایید یک تصویر ارائه دهیم.

در مثلث ABC با زاویه قائم C، سینوس زاویه A برابر است با نسبت پایه BC به هیپوتنوز AB.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت به شما امکان می دهد مقادیر این توابع را از طول های شناخته شده اضلاع مثلث محاسبه کنید.

مهم به یاد داشته باشید!

محدوده مقادیر سینوس و کسینوس از -1 تا 1 است. به عبارت دیگر سینوس و کسینوس مقادیری از -1 تا 1 می گیرند. دامنه مقادیر مماس و کوتانژانت کل خط اعداد است. یعنی این توابع می توانند هر مقداری را بگیرند.

تعاریف ارائه شده در بالا برای زوایای حاد اعمال می شود. در مثلثات، مفهوم زاویه چرخش معرفی شده است که مقدار آن بر خلاف زاویه حاد به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود. .

در این زمینه می‌توان سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را با زاویه‌ای با بزرگی دلخواه تعریف کرد. اجازه دهید یک دایره واحد را تصور کنیم که مرکز آن در مبدأ سیستم مختصات دکارتی است.

نقطه اولیه A با مختصات (1، 0) در اطراف مرکز دایره واحد از یک زاویه a خاص می چرخد ​​و به نقطه A 1 می رود. تعریف بر حسب مختصات نقطه A 1 (x,y) داده شده است.

سینوس (سین) زاویه چرخش

سینوس زاویه چرخش α، مختص نقطه A 1 (x,y) است. sin α = y

کسینوس (cos) زاویه چرخش

کسینوس زاویه چرخش α آبسیسا نقطه A 1 (x,y) است. cos α = x

مماس (tg) زاویه چرخش

مماس زاویه چرخش α نسبت مختصات نقطه A 1 (x,y) به آبسیسا آن است. t g α = y x

کوتانژانت (ctg) زاویه چرخش

کوتانژانت زاویه چرخش α نسبت آبسیسا نقطه A 1 (x, y) به مختصات آن است. c t g α = x y

سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شوند. این منطقی است، زیرا ابسیسا و مختصات یک نقطه پس از چرخش را می توان در هر زاویه ای تعیین کرد. وضعیت با مماس و کوتانژانت متفاوت است. مماس زمانی تعریف نشده است که یک نقطه پس از چرخش به نقطه ای با آبسیسا صفر (0، 1) و (0، - 1) می رود. در چنین مواردی، عبارت مماس t g α = y x به سادگی معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. وضعیت مشابه با کوتانژانت است. با این تفاوت که کوتانژانت در مواردی که رده یک نقطه به صفر می رسد تعریف نمی شود.

مهم به یاد داشته باشید!

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می شوند.

مماس برای همه زوایا به جز α = 90 درجه + 180 درجه k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

کوتانژانت برای همه زوایا به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

هنگام حل مثال های عملی، "سینوس زاویه چرخش α" را نگویید. واژه‌های "زاویه چرخش" به سادگی حذف شده‌اند، به این معنی که از قبل آنچه مورد بحث قرار می‌گیرد، واضح است.

شماره

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد و نه زاویه چرخش چیست؟

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک عدد

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد تیعددی است که به ترتیب برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در است تیرادیان

برای مثال، سینوس عدد 10 π برابر با سینوس زاویه چرخش 10 π راد است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم.

هر عدد واقعی تییک نقطه روی دایره واحد با مرکز در مبدأ سیستم مختصات دکارتی مستطیلی مرتبط است. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می شوند.

نقطه شروع روی دایره نقطه A با مختصات (1، 0) است.

عدد مثبت تی

عدد منفی تیمربوط به نقطه ای است که نقطه شروع اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت در اطراف دایره حرکت کند و از مسیر t عبور کند، به آن می رسد.

اکنون که ارتباط بین عدد و نقطه روی یک دایره برقرار شد، به سراغ تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت می رویم.

سینوس (گناه) از t

سینوس یک عدد تی- ترتیب یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی sin t = y

کسینوس (cos) از t

کسینوس یک عدد تی- آبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد تی cos t = x

مماس (tg) t

مماس یک عدد تی- نسبت مختصات به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی t g t = y x = گناه t cos t

آخرین تعاریف مطابق با تعریف ارائه شده در ابتدای این بند بوده و مغایرتی ندارد. روی دایره مربوط به عدد اشاره کنید تی، منطبق بر نقطه ای است که نقطه شروع پس از چرخش با یک زاویه به آن می رود تیرادیان

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

هر مقدار از زاویه α مربوط به مقدار مشخصی از سینوس و کسینوس این زاویه است. درست مانند تمام زوایای α غیر از α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) با مقدار مماس خاصی مطابقت دارد. همانطور که در بالا گفته شد، کوتانژانت برای همه α به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

می توان گفت sin α، cos α، tg α، c tg α توابعی از زاویه آلفا یا توابعی از آرگومان زاویه ای هستند.

به طور مشابه، ما می توانیم در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان توابعی از یک استدلال عددی صحبت کنیم. هر عدد واقعی تیمربوط به مقدار معینی از سینوس یا کسینوس یک عدد است تی. همه اعداد غیر از π 2 + π · k، k ∈ Z، مربوط به یک مقدار مماس هستند. کتانژانت، به طور مشابه، برای همه اعداد به جز π k, k ∈ Z تعریف شده است.

توابع اصلی مثلثات

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع اصلی مثلثاتی هستند.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که با کدام آرگومان تابع مثلثاتی (آگومان زاویه ای یا آرگومان عددی) سروکار داریم.

بیایید به تعاریف ارائه شده در همان ابتدا و زاویه آلفا که در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد، برگردیم. تعاریف مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت کاملاً با تعاریف هندسی ارائه شده توسط نسبت های یک مثلث قائم الزاویه مطابقت دارد. بیایید آن را نشان دهیم.

بیایید یک دایره واحد با یک مرکز در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی را در نظر بگیریم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را با زاویه 90 درجه بچرخانیم و از نقطه حاصل A 1 (x, y) عمود بر محور آبسیسا بکشیم. در مثلث قائم الزاویه حاصل، زاویه A 1 O H برابر با زاویه چرخش α است، طول ساق O H برابر با آبسیسا نقطه A 1 (x, y) است. طول پایه مقابل زاویه برابر است با مختص نقطه A 1 (x, y) و طول هیپوتانوس برابر با یک است زیرا شعاع دایره واحد است.

مطابق با تعریف هندسه، سینوس زاویه α برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

این بدان معنی است که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه از طریق نسبت ابعاد معادل با تعیین سینوس زاویه چرخش α است که آلفا در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد.

به طور مشابه، مطابقت تعاریف را می توان برای کسینوس، مماس و کوتانژانت نشان داد.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

برگشت