نحوه استخراج ریشه کسری محاسبه جذر یک عدد: نحوه محاسبه دستی آن

اغلب، هنگام حل مسائل، با اعداد زیادی مواجه می شویم که باید از آنها استخراج کنیم ریشه دوم. بسیاری از دانش آموزان تصمیم می گیرند که این یک اشتباه است و شروع به حل مجدد کل مثال می کنند. تحت هیچ شرایطی این کار را نکنید! دو دلیل برای این وجود دارد:

1. ریشه از اعداد بزرگدر واقع در مشکلات رخ می دهد. به خصوص در متن ها؛
2. الگوریتمی وجود دارد که با آن این ریشه ها تقریباً شفاهی محاسبه می شوند.

ما امروز این الگوریتم را در نظر خواهیم گرفت. شاید برخی چیزها برای شما نامفهوم به نظر برسد. اما اگر به این درس توجه کنید، یک سلاح قدرتمند در مقابل دریافت خواهید کرد ریشه های مربع .

بنابراین، الگوریتم:

1. ریشه مورد نیاز بالا و پایین را به اعدادی که مضرب 10 هستند محدود کنید. بنابراین، محدوده جستجو را به 10 عدد کاهش می دهیم.
2. از این 10 عدد، آنهایی را که قطعاً نمی توانند ریشه باشند، حذف کنید. در نتیجه، 1-2 عدد باقی می ماند.
3. این 1-2 اعداد را مربع کنید. آن که مربع آن برابر با عدد اصلی باشد، ریشه خواهد بود.

قبل از اجرای این الگوریتم، اجازه دهید به هر مرحله جداگانه نگاه کنیم.

محدودیت ریشه

اول از همه، باید بفهمیم که ریشه ما بین کدام اعداد قرار دارد. بسیار مطلوب است که اعداد مضرب ده باشند:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

یک سری اعداد بدست می آوریم:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

این اعداد به ما چه می گویند؟ ساده است: ما مرزها را می گیریم. به عنوان مثال عدد 1296 را در نظر بگیرید. بین 900 و 1600 قرار دارد. بنابراین ریشه آن نمی تواند کمتر از 30 و بزرگتر از 40 باشد.

[کپشن عکس]

همین مورد در مورد هر عدد دیگری که از آن می توانید جذر را پیدا کنید صدق می کند. به عنوان مثال، 3364:

[کپشن عکس]

بنابراین، به جای یک عدد نامفهوم، یک محدوده بسیار خاص دریافت می کنیم که ریشه اصلی در آن قرار دارد. برای محدود کردن بیشتر منطقه جستجو، به مرحله دوم بروید.

حذف اعداد آشکارا غیر ضروری

بنابراین، ما 10 عدد داریم - نامزد برای ریشه. ما آنها را خیلی سریع و بدون تفکر پیچیده و ضرب در یک ستون به دست آوردیم. وقت آن است که ادامه دهیم.

باور کنید یا نه، ما اکنون تعداد نامزدها را به دو نفر کاهش می دهیم - دوباره بدون هیچ محاسبات پیچیده! کافی است قاعده خاص را بدانید. ایناهاش:

آخرین رقم مربع فقط به رقم آخر بستگی دارد شماره اصلی.

به عبارت دیگر، فقط نگاه کنید آخرین رقممربع - و ما بلافاصله متوجه خواهیم شد که عدد اصلی به کجا ختم می شود.

فقط 10 رقم وجود دارد که می تواند روی آن ظاهر شود آخرین مکان. بیایید سعی کنیم دریابیم وقتی مربع به چه چیزی تبدیل می شوند. به جدول نگاه کنید:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

این جدول گام دیگری برای محاسبه ریشه است. همانطور که می بینید، اعداد در خط دوم نسبت به پنج متقارن بودند. مثلا:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

همانطور که می بینید، رقم آخر در هر دو مورد یکسان است. یعنی مثلاً ریشه 3364 باید به 2 یا 8 ختم شود. از طرف دیگر محدودیت پاراگراف قبل را به خاطر می آوریم. ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

مربع های قرمز نشان می دهد که ما هنوز این رقم را نمی دانیم. اما ریشه در محدوده 50 تا 60 قرار دارد که در آن فقط دو عدد به 2 و 8 ختم می شود:

[کپشن عکس]

همین! از بین همه ریشه های ممکن، ما فقط دو گزینه باقی گذاشتیم! و این در سخت ترین حالت است، زیرا رقم آخر می تواند 5 یا 0 باشد. و سپس تنها یک نامزد برای ریشه ها وجود خواهد داشت!

محاسبات نهایی

بنابراین، ما 2 شماره نامزد باقی مانده است. چگونه می دانید ریشه کدام یک است؟ پاسخ واضح است: هر دو عدد را مربع کنید. عددی که به مربع عدد اصلی را می دهد، ریشه خواهد بود.

به عنوان مثال، برای عدد 3364 دو عدد نامزد پیدا کردیم: 52 و 58. بیایید آنها را مربع کنیم:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

همین! معلوم شد که ریشه 58 است! در عین حال برای ساده کردن محاسبات از فرمول مجذورات مجموع و تفاضل استفاده کردم. با تشکر از این، من حتی مجبور نشدم اعداد را در یک ستون ضرب کنم! این یک سطح دیگر از بهینه سازی محاسبات است، اما، البته، کاملا اختیاری :)

نمونه هایی از محاسبه ریشه ها

البته تئوری خوب است. اما بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.

[کپشن عکس]

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 576 بین کدام اعداد قرار دارد:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

حالا بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم. برابر 6 است. چه زمانی این اتفاق می افتد؟ فقط اگر ریشه به 4 یا 6 ختم شود. دو عدد بدست می آوریم:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر عدد را مربع کنید و آن را با عدد اصلی مقایسه کنید:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عالی! مربع اول برابر با عدد اصلی بود. پس این ریشه است.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

1369 → 9;
33; 37.

مربع آن:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

پاسخ این است: 37.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

2704 → 4;
52; 58.

مربع آن:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

پاسخ دریافت کردیم: 52. عدد دوم دیگر نیازی به مربع نخواهد داشت.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

4225 → 5;
65.

همانطور که می بینید بعد از مرحله دوم فقط یک گزینه باقی می ماند: 65. این ریشه مورد نظر است. اما بیایید همچنان آن را مربع کنیم و بررسی کنیم:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

همه چیز درست است. پاسخ را یادداشت می کنیم.

نتیجه

افسوس، بهتر نیست. بیایید به دلایل آن نگاه کنیم. دو تا از آنها موجود است:

• در هر امتحان معمولی در ریاضیات، چه آزمون دولتی یا یک آزمون دولتی واحد، استفاده از ماشین حساب ممنوع است. و اگر یک ماشین حساب به کلاس بیاورید، به راحتی می توانید از امتحان اخراج شوید.
• مثل آمریکایی های احمق نباشید. که مانند ریشه نیستند - نمی توانند دو عدد اول را اضافه کنند. و وقتی کسرها را می بینند، عموما هیستریک می شوند.

ترجیحاً مهندسی - دکمه ای با علامت ریشه: "√". معمولاً برای استخراج ریشه کافی است خود شماره را تایپ کنید و سپس دکمه "√" را فشار دهید.

در اکثر مدرن ها تلفن های همراهیک برنامه "ماشین حساب" با عملکرد استخراج ریشه وجود دارد. روش پیدا کردن ریشه یک عدد با استفاده از ماشین حساب تلفنی مشابه موارد فوق است.
مثال.
از 2 پیدا کنید.
ماشین حساب را روشن کنید (اگر خاموش باشد) و به طور متوالی دکمه های تصویر دو و root ("2" "√") را فشار دهید. به عنوان یک قاعده، شما نیازی به فشار دادن کلید "=" ندارید. در نتیجه، عددی مانند 1.4142 دریافت می کنیم (تعداد ارقام و "گردی" به عمق بیت و تنظیمات ماشین حساب بستگی دارد).
توجه: هنگام تلاش برای یافتن ریشه، ماشین حساب معمولاً خطا می دهد.

اگر به کامپیوتر دسترسی دارید، پیدا کردن ریشه یک عدد بسیار آسان است.
1. می توانید از برنامه Calculator که تقریباً در هر رایانه ای موجود است استفاده کنید. برای ویندوز XP، این برنامه را می توان به صورت زیر راه اندازی کرد:
"شروع" - "همه برنامه ها" - "لوازم جانبی" - "ماشین حساب".
بهتر است نمای را روی "عادی" تنظیم کنید. به هر حال، بر خلاف یک ماشین حساب واقعی، دکمه استخراج ریشه با علامت "sqrt" و نه "√" مشخص شده است.

اگر نمی توانید با استفاده از روش مشخص شده به ماشین حساب دسترسی پیدا کنید، می توانید ماشین حساب استاندارد را به صورت دستی اجرا کنید:
"شروع" - "اجرا" - "کالک".
2. برای یافتن ریشه یک عدد، می توانید از برخی برنامه های نصب شده در رایانه خود نیز استفاده کنید. علاوه بر این، این برنامه دارای ماشین حساب داخلی خود است.

به عنوان مثال، برای برنامه MS Excel، می توانید دنباله اقدامات زیر را انجام دهید:
MS Excel را راه اندازی کنید.

عددی را که باید ریشه را از آن استخراج کنیم، در هر سلولی می نویسیم.

نشانگر سلول را به مکان دیگری منتقل کنید

دکمه انتخاب عملکرد (fx) را فشار دهید

عملکرد "ROOT" را انتخاب کنید

سلولی را با یک عدد به عنوان آرگومان تابع مشخص می کنیم

روی "OK" یا "Enter" کلیک کنید
مزیت - فایده - سود - منفعت این روشاین است که اکنون کافی است هر مقداری را با عدد وارد کنید، مانند تابع، .
توجه داشته باشید.
چندین راه عجیب و غریب دیگر برای یافتن ریشه یک عدد وجود دارد. به عنوان مثال، در یک "گوشه"، با استفاده از یک قانون اسلاید یا جداول Bradis. اما این روش ها به دلیل پیچیدگی و بی فایده بودن در این مقاله مورد بحث قرار نمی گیرند.

ویدیو در مورد موضوع

منابع:

• چگونه ریشه یک عدد را پیدا کنیم

گاهی اوقات موقعیت‌هایی پیش می‌آید که مجبور می‌شوید نوعی محاسبات ریاضی از جمله استخراج ریشه‌های مربع و ریشه‌های بزرگ‌تر یک عدد را انجام دهید. ریشه "n" "a" عدد است درجه نهمکه عدد "الف" است.

دستورالعمل ها

برای پیدا کردن ریشه "n" به صورت زیر عمل کنید.

در رایانه خود، روی "شروع" - "همه برنامه ها" - "لوازم جانبی" کلیک کنید. سپس به بخش «سرویس» بروید و «ماشین حساب» را انتخاب کنید. می توانید این کار را به صورت دستی انجام دهید: روی Start کلیک کنید، "calk" را در کادر Run تایپ کنید و Enter را فشار دهید. باز خواهد شد. برای استخراج جذر یک عدد، آن را در ماشین حساب وارد کرده و دکمه "sqrt" را فشار دهید. ماشین حساب ریشه درجه دوم را که ریشه مربع نامیده می شود از عدد وارد شده استخراج می کند.

برای استخراج ریشه ای که درجه آن بالاتر از دوم است، باید از نوع دیگری از ماشین حساب استفاده کنید. برای انجام این کار، در رابط ماشین حساب، روی دکمه "مشاهده" کلیک کنید و خط "مهندسی" یا "علمی" را از منو انتخاب کنید. این نوع ماشین حساب دارای محاسبات لازم است ریشه n امتابع درجه

برای استخراج ریشه درجه سوم ()، در یک ماشین حساب "مهندسی"، عدد مورد نظر را وارد کرده و دکمه "3√" را فشار دهید. برای به دست آوردن ریشه ای که درجه آن بالاتر از 3 است، عدد مورد نظر را وارد کنید، دکمه را با نماد "y√x" فشار دهید و سپس عدد - توان را وارد کنید. پس از آن، علامت مساوی (دکمه "=") را فشار دهید و ریشه مورد نظر را دریافت خواهید کرد.

اگر ماشین حساب شما تابع "y√x" را ندارد، موارد زیر را انجام دهید.

برای استخراج ریشه مکعب، عبارت رادیکال را وارد کنید، سپس یک علامت چک در کادر تأیید قرار دهید، که در کنار کتیبه "Inv" قرار دارد. با این عمل، عملکرد دکمه های ماشین حساب را برعکس می کنید، یعنی با کلیک بر روی دکمه مکعب، ریشه مکعب را استخراج می کنید. روی دکمه ای که شما

واقعیت 1.
\(\bullet\) بیایید مقداری غیر منفی \(a\) (یعنی \(a\geqslant 0\)) را در نظر بگیریم. سپس (حساب) ریشه دوماز عدد \(a\) چنین عدد غیر منفی \(b\) نامیده می شود، وقتی مربع شود عدد \(a\) را می گیریم: \[\sqrt a=b\quad \text(همانند)\quad a=b^2\]از تعریف بر می آید که \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). این محدودیت ها هستند یک شرط مهموجود داشتن ریشه دومو آنها را باید به خاطر آورد!
به یاد بیاورید که هر عددی که مجذور شود یک نتیجه غیر منفی می دهد. یعنی \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) برابر چیست؟ می دانیم که \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . از آنجایی که طبق تعریف باید یک عدد غیر منفی پیدا کنیم، پس \(-5\) مناسب نیست، بنابراین، \(\sqrt(25)=5\) (از آنجا که \(25=5^2\) ).
یافتن مقدار \(\sqrt a\) را گرفتن جذر عدد \(a\) و عدد \(a\) را عبارت رادیکال می نامند.
\(\bullet\) بر اساس تعریف، عبارت \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\) و غیره. منطقی نیست

واقعیت 2.
برای محاسبات سریع، یادگیری جدول مربع ها مفید خواهد بود اعداد طبیعیاز \(1\) تا \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(آرایه)\]

واقعیت 3.
چه عملیاتی را می توان با ریشه های مربع انجام داد؟
\(\گلوله\) مجموع یا اختلاف ریشه های مربع با جذر مجموع یا تفاوت برابر نیست، یعنی \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]بنابراین، اگر برای مثال نیاز به محاسبه \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) دارید، ابتدا باید مقادیر \(\sqrt(25)\) و \(\ را پیدا کنید. sqrt(49)\ ) و سپس آنها را تا کنید. از این رو، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] اگر مقادیر \(\sqrt a\) یا \(\sqrt b\) در هنگام اضافه کردن \(\sqrt a+\sqrt b\) یافت نشد، چنین عبارتی بیشتر تبدیل نمی شود و همانطور که هست باقی می ماند. برای مثال، در مجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) می‌توانیم پیدا کنیم \(\sqrt(49)\) \(7\) است، اما \(\sqrt 2\) را نمی‌توان در به هر حال، به همین دلیل است \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). متأسفانه، این عبارت را نمی توان بیشتر ساده کرد\(\bullet\) حاصل ضرب/ضریب ریشه های مربع برابر است با جذر حاصلضرب/ضریب، یعنی \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (مشروط بر اینکه دو طرف برابری معنا داشته باشد)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) با استفاده از این ویژگی ها، یافتن ریشه های مربع اعداد بزرگ با فاکتورگیری آنها راحت است.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید \(\sqrt(44100)\) را پیدا کنیم. از آنجایی که \(44100:100=441\) ، سپس \(44100=100\cdot 441\) . با توجه به معیار تقسیم پذیری عدد \(441\) بر \(9\) بخش پذیر است (چون مجموع ارقام آن 9 است و بر 9 بخش پذیر است) بنابراین \(441:9=49\) یعنی \(441=9\ cdot 49\) .
بنابراین ما دریافتیم: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) بیایید نحوه وارد کردن اعداد زیر علامت جذر را با استفاده از مثال عبارت \(5\sqrt2\) (نشان کوتاه برای عبارت \(5\cdot \sqrt2\)) نشان دهیم. از آنجایی که \(5=\sqrt(25)\) پس \ همچنین توجه داشته باشید که برای مثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

چرا اینطور است؟ بیایید با استفاده از مثال 1 توضیح دهیم). همانطور که قبلاً فهمیدید، ما نمی توانیم به نحوی عدد \(\sqrt2\) را تغییر دهیم. بیایید تصور کنیم که \(\sqrt2\) مقداری \(a\) است. بر این اساس، عبارت \(\sqrt2+3\sqrt2\) چیزی بیش از \(a+3a\) نیست (یک عدد \(a\) به اضافه سه عدد دیگر از همان اعداد \(a\)). و می دانیم که این برابر با چهار عدد از جمله \(a\) است، یعنی \(4\sqrt2\) .

واقعیت 4.
\(\bullet\) وقتی نمی‌توانید علامت \(\sqrt () \\) ریشه (رادیکال) را هنگام پیدا کردن مقدار یک عدد از بین ببرید، اغلب می‌گویند "شما نمی‌توانید ریشه را استخراج کنید". . به عنوان مثال، می توانید ریشه عدد \(16\) را بگیرید زیرا \(16=4^2\) , بنابراین \(\sqrt(16)=4\) . اما استخراج ریشه عدد \(3\)، یعنی پیدا کردن \(\sqrt3\) غیرممکن است، زیرا هیچ عددی وجود ندارد که مربع آن \(3\) را بدهد.
چنین اعدادی (یا عباراتی با چنین اعدادی) غیر منطقی هستند. مثلا اعداد \(\sqrt3، \ 1+\sqrt2، \ \sqrt(15)\)و غیره غیر منطقی هستند
همچنین اعداد \(\pi\) (عدد "pi" تقریبا برابر با \(3.14\))، \(e\) غیر منطقی هستند (این عدد را عدد اویلر می نامند، تقریبا برابر است با \(2.7 \)) و غیره.
\(\bullet\) لطفاً توجه داشته باشید که هر عددی یا گویا یا غیرمنطقی خواهد بود. و همه اعداد گویا و غیر منطقی با هم مجموعه ای به نام را تشکیل می دهند مجموعه ای از اعداد واقعیاین مجموعه با حرف \(\mathbb(R)\) نشان داده می شود.
این بدان معنی است که تمام اعدادی که در حال حاضر می شناسیم، اعداد واقعی نامیده می شوند.

واقعیت 5.
\(\bullet\) مدول یک عدد واقعی \(a\) یک عدد غیر منفی \(|a|\) برابر با فاصله از نقطه \(a\) تا \(0\) در خط واقعی برای مثال، \(|3|\) و \(|-3|\) برابر با 3 هستند، زیرا فاصله از نقاط \(3\) و \(-3\) تا \(0\) برابر است. یکسان و برابر با \(3 \) .
\(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد غیر منفی است، \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد منفی است، آنگاه \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
آنها می گویند که برای اعداد منفی، مدول منهای را "می خورد"، در حالی که اعداد مثبت و همچنین عدد \(0\) توسط مدول بدون تغییر باقی می مانند.
ولیاین قانون فقط برای اعداد اعمال می شود. اگر در زیر علامت مدول شما یک ناشناخته \(x\) (یا یک مجهول دیگر) مثلا \(|x|\) وجود دارد که نمی دانیم مثبت، صفر یا منفی است، پس خلاص شوید. از مدول ما نمی توانیم. در این حالت، این عبارت ثابت می ماند: \(|x|\) . \(\bullet\) فرمول های زیر برقرار است: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))، \text( ارائه شده ) a\geqslant 0\]خیلی اوقات اشتباه زیر انجام می شود: آنها می گویند \(\sqrt(a^2)\) و \((\sqrt a)^2\) یکی هستند. این تنها زمانی درست است که \(a\) یک عدد مثبت یا صفر باشد. اما اگر \(a\) یک عدد منفی باشد، این نادرست است. توجه به این مثال کافی است. بیایید به جای \(a\) عدد \(-1\) را در نظر بگیریم. سپس \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\)، اما عبارت \((\sqrt (-1))^2\) اصلا وجود ندارد (بالاخره، استفاده از علامت ریشه غیرممکن است که اعداد منفی قرار دهید!).
بنابراین توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که \(\sqrt(a^2)\) برابر با \((\sqrt a)^2\) نیست!مثال: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، زیرا \(-\sqrt2<0\) ;

\(\فانتوم(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) از آنجایی که \(\sqrt(a^2)=|a|\) , سپس \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (عبارت \(2n\) یک عدد زوج را نشان می دهد)
یعنی هنگام گرفتن ریشه عددی که تا حدی است، این درجه نصف می شود.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (توجه داشته باشید که اگر ماژول ارائه نشده باشد، معلوم می شود که ریشه عدد برابر است با \(-25\ ) اما ما به یاد داریم که طبق تعریف ریشه این اتفاق نمی افتد: هنگام استخراج ریشه، همیشه باید یک عدد مثبت یا صفر بدست آوریم)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (زیرا هر عددی به توان زوج غیرمنفی است)

واقعیت 6.
چگونه دو ریشه مربع را با هم مقایسه کنیم؟
\(\bullet\) برای ریشه های مربع درست است: اگر \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aمثال:
1) \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) را مقایسه کنید. اول، اجازه دهید عبارت دوم را به \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). بنابراین، از زمانی که \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) بین چه اعداد صحیحی قرار دارد؟
از آنجایی که \(\sqrt(49)=7\) ، \(\sqrt(64)=8\) و \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) بیایید \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) را با هم مقایسه کنیم. بیایید فرض کنیم که \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(تراز شده) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((یکی را به هر دو طرف اضافه کنید))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((مربع هر دو طرف))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (تراز شده)\]می بینیم که یک نابرابری نادرست به دست آورده ایم. بنابراین، فرض ما نادرست بود و \(\sqrt 2-1<0,5\) .
توجه داشته باشید که افزودن یک عدد معین به دو طرف نامساوی تاثیری بر علامت آن ندارد. ضرب/تقسیم هر دو طرف نامساوی بر عدد مثبت نیز بر علامت آن تاثیری ندارد، اما ضرب/تقسیم در عدد منفی علامت نامساوی را معکوس می‌کند!
فقط در صورتی می توانید هر دو طرف یک معادله/نابرابری را مربع کنید. به عنوان مثال، در نابرابری مثال قبلی می توانید هر دو طرف را مربع کنید، در نابرابری \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) باید به خاطر داشت که \[\شروع (تراز شده) &\sqrt 2\حدود 1.4\\ &\sqrt 3\حدود 1.7 \پایان (تراز شده)\]دانستن معنای تقریبی این اعداد به شما در مقایسه اعداد کمک می کند! \(\bullet\) برای استخراج ریشه (اگر بتوان آن را استخراج کرد) از تعداد زیادی که در جدول مربع ها نیست، ابتدا باید تعیین کنید که بین کدام "صدها" قرار دارد، سپس - بین کدام " ده ها» و سپس آخرین رقم این عدد را مشخص کنید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار می کند.
بیایید \(\sqrt(28224)\) را در نظر بگیریم. ما می دانیم که \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\) و غیره. توجه داشته باشید که \(28224\) بین \(10\,000\) و \(40\,000\) است. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) بین \(100\) و \(200\) است.
حالا بیایید تعیین کنیم که عدد ما بین کدام "ده ها" قرار دارد (به عنوان مثال، بین \(120\) و \(130\)). همچنین از جدول مربع ها می دانیم که \(11^2=121\) , \(12^2=144\) و غیره، سپس \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) ، \(130^2=16900\) ، \(140^2=19600\) ، \(150^2=22500\) ، \(160^2=25600\) ، \(170^2=28900 \ ) . بنابراین می بینیم که \(28224\) بین \(160^2\) و \(170^2\) است. بنابراین، عدد \(\sqrt(28224)\) بین \(160\) و \(170\) است.
بیایید سعی کنیم رقم آخر را تعیین کنیم. بیایید به یاد بیاوریم که در انتها چه اعداد تک رقمی، وقتی که مربع می شوند، \(4\) می دهند؟ اینها \(2^2\) و \(8^2\) هستند. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) به 2 یا 8 ختم می شود. بیایید این را بررسی کنیم. بیایید \(162^2\) و \(168^2\) را پیدا کنیم:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
بنابراین، \(\sqrt(28224)=168\) . وایلا!

برای حل مناسب آزمون دولتی واحد در ریاضیات، ابتدا باید مطالب نظری را مطالعه کنید، که شما را با قضایای متعدد، فرمول ها، الگوریتم ها و غیره آشنا می کند. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این بسیار ساده است. با این حال، یافتن منبعی که در آن تئوری آزمون دولتی واحد در ریاضیات به روشی آسان و قابل درک برای دانش‌آموزان با هر سطح آموزشی ارائه شود، در واقع کار نسبتاً دشواری است. کتاب های درسی مدرسه را نمی توان همیشه در دسترس داشت. و یافتن فرمول های اساسی برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات می تواند حتی در اینترنت دشوار باشد.

چرا مطالعه تئوری در ریاضیات نه تنها برای کسانی که در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می کنند، بسیار مهم است؟

1. زیرا افق دید شما را گسترده تر می کند. مطالعه مطالب نظری در ریاضیات برای هر کسی که می خواهد به طیف گسترده ای از سوالات مربوط به دانش دنیای اطراف خود پاسخ دهد مفید است. همه چیز در طبیعت منظم است و منطق روشنی دارد. این دقیقاً همان چیزی است که در علم منعکس شده است و از طریق آن می توان جهان را درک کرد.
2. زیرا باعث رشد هوش می شود. با مطالعه مواد مرجع برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات، و همچنین حل مسائل مختلف، فرد یاد می گیرد که به طور منطقی فکر کند و استدلال کند، افکار را به درستی و واضح فرموله کند. او توانایی تجزیه و تحلیل، تعمیم و نتیجه گیری را توسعه می دهد.

ما از شما دعوت می کنیم تا شخصاً تمام مزایای رویکرد ما در سیستم سازی و ارائه مطالب آموزشی را ارزیابی کنید.

دایره نشان داد که چگونه می توانید ریشه های مربع را در یک ستون استخراج کنید. می توانید ریشه را با دقت دلخواه محاسبه کنید، هر تعداد رقم را در نماد اعشاری آن بیابید، حتی اگر غیرمنطقی باشد. الگوریتم به خاطر سپرده شد، اما سؤالات باقی ماند. معلوم نبود این روش از کجا آمده و چرا نتیجه درستی داده است. در کتاب ها نبود، یا شاید من فقط در کتاب های اشتباهی نگاه می کردم. در پایان، مانند بسیاری از چیزهایی که امروز می دانم و می توانم انجام دهم، خودم به آن رسیدم. من دانش خود را در اینجا به اشتراک می گذارم. به هر حال، من هنوز نمی دانم که منطق الگوریتم کجا آمده است)))

بنابراین، ابتدا با یک مثال به شما می گویم "چگونه سیستم کار می کند" و سپس توضیح می دهم که چرا واقعاً کار می کند.

بیایید یک عدد را در نظر بگیریم (عدد "خارج از آب" گرفته شد، فقط به ذهنم آمد).

1. اعداد آن را به جفت تقسیم می کنیم: آنهایی که در سمت چپ نقطه اعشار قرار دارند از راست به چپ دو گروه و آنهایی که در سمت راست هستند از چپ به راست دو گروه می شوند. ما گرفتیم.

2. ما جذر را از اولین گروه از اعداد سمت چپ استخراج می کنیم - در مورد ما اینطور است (معلوم است که ممکن است ریشه دقیق استخراج نشود، عددی را می گیریم که مربع آن تا حد ممکن به عدد ما نزدیک باشد. گروه اول اعداد، اما از آن تجاوز نمی کند). در مورد ما این یک عدد خواهد بود. ما پاسخ را یادداشت می کنیم - این مهم ترین رقم ریشه است.

3. عددی را که قبلاً در پاسخ وجود دارد - این - مربع می کنیم و آن را از اولین گروه اعداد سمت چپ - از عدد کم می کنیم. در مورد ما باقی می ماند.

4. گروه دو عدد زیر را به سمت راست اختصاص می دهیم: . عددی را که از قبل در پاسخ آمده ضرب می کنیم و به دست می آوریم.

5. حالا با دقت تماشا کن باید یک رقم را به عدد سمت راست اختصاص دهیم و عدد را در همان رقم اختصاص داده شده ضرب کنیم. نتیجه باید تا حد امکان نزدیک باشد، اما باز هم بیشتر از این عدد نباشد. در مورد ما، این عدد خواهد بود، آن را در پاسخ کنار، سمت راست می نویسیم. این رقم بعدی در نماد اعشاری ریشه مربع ما است.

6. از تفریق حاصلضرب به دست می آید.

7. در مرحله بعد، عملیات آشنا را تکرار می کنیم: گروه ارقام زیر را به سمت راست اختصاص می دهیم، در عدد حاصل ضرب می کنیم > یک رقم را به سمت راست اختصاص می دهیم، به طوری که وقتی در آن ضرب می شود، عددی کوچکتر از، اما نزدیکترین به دست می آوریم. به آن - این رقم بعدی در نماد ریشه اعشاری است.

محاسبات به صورت زیر نوشته خواهد شد:

و حالا توضیح وعده داده شده. الگوریتم بر اساس فرمول است

نظرات: 50

1. 2 آنتون:

   بیش از حد آشفته و گیج کننده. همه چیز را نقطه به نقطه مرتب کنید و آنها را شماره گذاری کنید. به علاوه: توضیح دهید که در کجا مقادیر مورد نیاز را در هر عمل جایگزین می کنیم. من هرگز ریشه ریشه را محاسبه نکرده ام.

2. 5 جولیا:

3. 6 :

   یولیا، 23 در حال حاضر در سمت راست نوشته شده است. طبق الگوریتم در 2 ضرب کنید. مراحل توضیح داده شده در بند 4 را تکرار می کنیم.

4. 7 zzz:

   خطا در "6. از 167 حاصل ضرب 43 * 3 = 123 (129 نادا) را کم می کنیم، 38 می گیریم.
   نفهمیدم چطوری بعد از اعشار 08 شد...

5. 9 فدوتوف الکساندر:

   و حتی در دوره قبل از ماشین حساب، در مدرسه نه تنها ریشه مربع، بلکه ریشه مکعب در یک ستون را نیز یاد می‌گرفتیم، اما این کار خسته‌کننده‌تر و پرزحمت‌تر بود. استفاده از جداول برادیس یا یک قانون اسلاید که قبلاً در دبیرستان مطالعه کرده بودیم آسانتر بود.

6. 10 :

   الکساندر، حق با شماست، می توانید ریشه های قدرت های بزرگ را در یک ستون استخراج کنید. من قصد دارم فقط در مورد چگونگی پیدا کردن ریشه مکعب بنویسم.

7. 12 سرگئی والنتینوویچ:

   الیزاوتا الکساندرونای عزیز! در اواخر دهه 70، من طرحی را برای محاسبه خودکار (یعنی نه با انتخاب) کوادرا ایجاد کردم. روت در دستگاه افزودن فلیکس. اگر علاقه مند هستید، می توانم توضیحات را برای شما ارسال کنم.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   ((( استخراج جذر ستون )))
   اگر از سیستم شماره 2 استفاده کنید که در علوم کامپیوتر مطالعه می شود، اما در ریاضیات نیز مفید است، الگوریتم ساده می شود. A.N. کولموگروف این الگوریتم را در سخنرانی های محبوب برای دانش آموزان ارائه کرد. مقاله او را می توان در "مجموعه چبیشف" یافت (مجله ریاضی، به دنبال پیوند آن در اینترنت باشید)
   اتفاقاً بگو:
   G. Leibniz در یک زمان با ایده انتقال از سیستم اعداد دهم به سیستم باینری به دلیل سادگی و دسترسی آن برای مبتدیان (دانش آموزان ابتدایی) بازی می کرد. اما شکستن سنت های ثابت مانند شکستن دروازه قلعه با پیشانی است: ممکن است، اما بی فایده است. بنابراین، همانطور که به قول معروف ترین فیلسوف ریشو در قدیم، معلوم می شود: سنت های همه نسل های مرده، آگاهی زندگان را سرکوب می کند.

   تا دفعه بعد.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) سرگئی والنتینوویچ، بله، من علاقه مندم...((

   شرط می بندم که این یک تغییر در "فلیکس" روش بابلی برای استخراج شوالیه مربع با استفاده از روش تقریب های متوالی است. این الگوریتم با روش نیوتن (روش مماس) پوشش داده شد.

   نمی دانم آیا در پیش بینی خود اشتباه کرده ام؟

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    بله، الگوریتم در باینری باید ساده‌تر باشد، این کاملاً واضح است.

    درباره روش نیوتن شاید این درست باشد، اما هنوز هم جالب است

11. 20 کریل:

    خیلی ممنون. اما هنوز هیچ الگوریتمی وجود ندارد، هیچ کس نمی داند از کجا آمده است، اما نتیجه درست است. خیلی ممنون! من خیلی وقته دنبال این بودم)

12. 21 اسکندر:

    چگونه ریشه را از عددی که گروه دوم از چپ به راست بسیار کوچک است استخراج می کنید؟ به عنوان مثال، شماره مورد علاقه همه 4,398,046,511,104 است. بعد از تفریق اول نمی توان همه چیز را طبق الگوریتم ادامه داد. میشه توضیح بدید لطفا

13. 22 الکسی:

    بله، من این روش را می شناسم. یادم می آید که آن را در کتاب «جبر» چند نسخه قدیمی خواندم. سپس به قیاس، خود او چگونگی استخراج ریشه مکعب را در یک ستون استنباط کرد. اما در آنجا کار پیچیده تر است: هر رقم نه با یک (مثلا یک مربع)، بلکه با دو تفریق تعیین می شود، و حتی در آنجا باید هر بار اعداد طولانی را ضرب کنید.

14. 23 آرتم:

    در مثال استخراج جذر 56789.321 اشتباه تایپی وجود دارد. گروه اعداد 32 دو بار به اعداد 145 و 243 اختصاص داده می شود، در عدد 2388025 باید 8 دوم با 3 جایگزین شود سپس آخرین تفریق به صورت زیر نوشته شود: 2431000 – 2383025 = 47975.
    علاوه بر این، هنگام تقسیم باقی مانده بر مقدار دو برابر شده پاسخ (بدون در نظر گرفتن کاما)، تعداد دیگری از ارقام قابل توجه (47975/(2*238305) = 0.100658819...) به دست می آید که باید به آن اضافه شود. پاسخ (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 سرگئی:

    ظاهراً این الگوریتم از کتاب آیزاک نیوتن "حساب عمومی یا کتابی در سنتز و تحلیل حسابی" آمده است. در اینجا گزیده ای از آن آمده است:

    در مورد استخراج ریشه

    برای استخراج جذر یک عدد، ابتدا باید یک نقطه را روی ارقام آن قرار دهید که با واحد شروع می شود. سپس باید عددی را که مربع آن با اعداد یا عدد قبل از نقطه اول مساوی یا نزدیکترین آن باشد را در ضریب یا رادیکال بنویسید. پس از تفریق این مربع، ارقام باقیمانده ریشه به ترتیب با تقسیم باقیمانده بر دو برابر مقدار ریشه استخراج شده و هر بار از باقیمانده مربع آخرین رقم یافت شده و حاصلضرب ده برابری آن با تفریق یافت می شود. مقسوم علیه نام برده شده

16. 25 سرگئی:

    لطفا عنوان کتاب "حساب عمومی یا کتابی در مورد ترکیب و تحلیل حسابی" را نیز اصلاح کنید.

17. 26 اسکندر:

    با تشکر از مطالب جالب اما این روش به نظر من تا حدودی پیچیده تر از آنچه برای مثال برای یک دانش آموز لازم است، به نظر می رسد. من از روش ساده تری استفاده می کنم که مبتنی بر بسط یک تابع درجه دوم با استفاده از دو مشتق اول است. فرمول آن این است:
    sqrt(x)= A1+A2-A3، که در آن
    A1 عدد صحیحی است که مربع آن به x نزدیک است.
    A2 کسری است، صورت آن x-A1 است، مخرج آن 2*A1 است.
    برای اکثر اعدادی که در یک دوره آموزشی با آن مواجه می شوند، این برای رسیدن به نتیجه دقیق به صدم کافی است.
    اگر به نتیجه دقیق تری نیاز دارید، مصرف کنید
    A3 کسری است، صورت آن مربع A2، مخرج 2*A1+1 است.
    البته برای استفاده از آن به جدول مربع های اعداد صحیح نیاز دارید، اما در مدرسه این مشکلی نیست. به خاطر سپردن این فرمول بسیار ساده است.
    با این حال، من را گیج می کند که من A3 را به طور تجربی در نتیجه آزمایشات با یک صفحه گسترده به دست آوردم و کاملاً نمی دانم که چرا این عضو چنین ظاهری دارد. شاید بتوانید به من راهنمایی کنید؟

18. 27 اسکندر:

    بله، من هم این ملاحظات را در نظر گرفته ام، اما شیطان در جزئیات است. شما می نویسید:
    "از آنجایی که a2 و b تفاوت کمی دارند." سوال این است که دقیقا چقدر کم است.
    این فرمول روی اعداد ده دوم به خوبی کار می کند و خیلی بدتر (نه تا صدم، فقط تا دهم) روی اعداد ده اول. درک اینکه چرا این اتفاق می افتد بدون استفاده از مشتقات دشوار است.

19. 28 اسکندر:

    آنچه را که به عنوان مزیت فرمولی که پیشنهاد می کنم را روشن خواهم کرد. این نیازی به تقسیم نه کاملا طبیعی اعداد به جفت ارقام ندارد، که، همانطور که تجربه نشان می دهد، اغلب با خطا انجام می شود. معنای آن واضح است، اما برای یک فرد آشنا به تحلیل، پیش پا افتاده است. روی اعداد از 100 تا 1000 که رایج ترین اعدادی هستند که در مدرسه با آن مواجه می شوند، به خوبی کار می کند.

20. 29 اسکندر:

    به هر حال، من کمی حفاری انجام دادم و عبارت دقیق A3 را در فرمول خود پیدا کردم:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 واسیل استریژاک:

    در زمان ما، با استفاده گسترده از فناوری رایانه، مسئله استخراج شوالیه مربع از یک عدد از نظر عملی ارزش آن را ندارد. اما برای دوستداران ریاضیات بدون شک گزینه های مختلفی برای حل این مشکل جالب خواهد بود. در برنامه درسی مدرسه، روش این محاسبه بدون استفاده از وجوه اضافی باید هم تراز با ضرب و تقسیم طولانی باشد. الگوریتم محاسبه نه تنها باید حفظ شود، بلکه باید قابل درک باشد. روش کلاسیک که در این مطالب برای بحث با افشای ماهیت ارائه شده است، کاملاً با معیارهای فوق مطابقت دارد.
    یک اشکال قابل توجه روش پیشنهاد شده توسط الکساندر استفاده از جدول مربع های اعداد صحیح است. نویسنده در مورد اکثر اعدادی که در دوره مدرسه با آنها مواجه می شود سکوت می کند. در مورد فرمول، به طور کلی به دلیل دقت نسبتاً بالای محاسبات، آن را دوست دارم.

22. 31 اسکندر:

    برای 30 واسیل stryzhak
    من چیزی را ساکت نکردم. جدول مربع ها قرار است تا 1000 باشد. در زمان من در مدرسه آنها آن را به سادگی از روی قلب یاد می گرفتند و در تمام کتاب های درسی ریاضی وجود داشت. من به صراحت این فاصله را نام بردم.
    در مورد فناوری رایانه، عمدتاً در درس ریاضیات استفاده نمی شود، مگر اینکه موضوع استفاده از ماشین حساب به طور خاص مورد بحث قرار گیرد. اکنون ماشین‌حساب‌ها در دستگاه‌هایی تعبیه شده‌اند که استفاده از آنها در آزمون یکپارچه دولتی ممنوع است.

23. 32 وسیل استریژاک:

    الکساندر، متشکرم برای توضیح، من فکر کردم که برای روش پیشنهادی، از نظر تئوری لازم است جدولی از مربع های همه اعداد دو رقمی را به خاطر بسپارید یا از آن استفاده کنید، سپس برای اعداد رادیکالی که در بازه 100 تا 10000 گنجانده نشده اند از تکنیک افزایش یا کاهش آنها به تعداد مرتبه های قدر مورد نیاز با حرکت نقطه اعشار استفاده کنید.

24. 33 وسیل استریژاک:

25. 39 الکساندر:

    اولین برنامه من به زبان IAMB بر روی ماشین شوروی "ISKRA 555" برای استخراج ریشه مربع یک عدد با استفاده از الگوریتم استخراج ستون نوشته شد! و حالا یادم رفت چطوری به صورت دستی اکسترکت کنم!

استخراج ریشه یک عدد بزرگ. دوستان عزیز!در این مقاله به شما نشان خواهیم داد که چگونه ریشه یک عدد بزرگ را بدون ماشین حساب استخراج کنید. این نه تنها برای حل انواع خاصی از مسائل امتحان دولتی واحد ضروری است (برخی هستند که شامل حرکت هستند)، بلکه برای توسعه ریاضی عمومی نیز توصیه می شود این تکنیک تحلیلی را بدانید.

به نظر می رسد که همه چیز ساده است: آن را به عواملی تبدیل کنید و آن را استخراج کنید. مشکلی نیست به عنوان مثال، عدد 291600 هنگام تجزیه محصول را نشان می دهد:

محاسبه می کنیم:

یک اما وجود دارد! روش خوب است اگر مقسوم علیه های 2، 3، 4 و غیره به راحتی تعیین شوند. اما اگر عددی که ریشه را از آن استخراج می کنیم حاصل ضرب اعداد اول باشد چه؟ به عنوان مثال، 152881 حاصل ضرب اعداد 17، 17، 23، 23 است. سعی کنید فوراً این مقسوم‌گیرندگان را پیدا کنید.

ماهیت روشی که ما در نظر داریم- این تحلیل محض است. با مهارت توسعه یافته، ریشه را می توان به سرعت پیدا کرد. اگر مهارت تمرین نشده باشد، اما رویکرد به سادگی درک شود، آنگاه کمی کندتر است، اما همچنان مصمم است.

بیایید ریشه 190969 را بگیریم.

ابتدا، بیایید تعیین کنیم که نتیجه ما بین کدام اعداد (مضربی از صد) قرار دارد.

بدیهی است که نتیجه ریشه این عدد در محدوده 400 تا 500 قرار دارد.زیرا

400 2 = 160000 و 500 2 = 250000

واقعا:

در وسط، نزدیکتر به 160000 یا 250000؟

عدد 190969 تقریباً در وسط است، اما هنوز به 160000 نزدیک تر است. می توانیم نتیجه بگیریم که نتیجه ریشه ما کمتر از 450 خواهد بود. بیایید بررسی کنیم:

در واقع، از 190969 کمتر از 450 است< 202 500.

حالا بیایید عدد 440 را بررسی کنیم:

این به این معنی است که نتیجه ما کمتر از 440 است 190 969 < 193 600.

بررسی شماره 430:

ما ثابت کرده ایم که نتیجه این ریشه در محدوده 430 تا 440 قرار دارد.

حاصل ضرب اعداد با 1 یا 9 در انتها عددی با 1 در پایان به دست می دهد. برای مثال 21 در 21 برابر با 441 است.

حاصل ضرب اعداد با 2 یا 8 در انتها عددی با 4 به دست می دهد. برای مثال 18 در 18 برابر با 324 است.

حاصلضرب اعدادی که در انتها 5 دارند، عددی با 5 در پایان به دست می آید. مثلاً 25 در 25 برابر با 625 است.

حاصل ضرب اعداد با 4 یا 6 در انتها عددی با 6 در پایان به دست می دهد. برای مثال 26 در 26 برابر با 676 است.

حاصل ضرب اعداد با 3 یا 7 در انتها عددی با 9 در پایان می دهد. مثلاً 17 در 17 برابر با 289 است.

از آنجایی که عدد 190969 به عدد 9 ختم می شود، حاصل ضرب عدد 433 یا 437 است.

*فقط آنها وقتی مربع شوند می توانند 9 را در پایان بدهند.

بررسی می کنیم:

این به این معنی است که نتیجه ریشه 437 خواهد بود.

یعنی به نظر می رسد که پاسخ صحیح را "پیدا کرده ایم".

همانطور که می بینید، حداکثر مورد نیاز انجام 5 عمل در یک ستون است. شاید فوراً به علامت ضربه بزنید یا فقط سه قدم بردارید. همه چیز به این بستگی دارد که چقدر دقیق تخمین اولیه خود را از عدد انجام می دهید.

خودتان ریشه 148996 را استخراج کنید

چنین تمایزی در مسئله به دست می آید:

کشتی موتوری 336 کیلومتر در امتداد رودخانه تا مقصد خود طی می کند و پس از توقف به نقطه عزیمت خود باز می گردد. اگر سرعت فعلی 5 کیلومتر در ساعت باشد، مدت اقامت 10 ساعت طول بکشد و کشتی 48 ساعت پس از حرکت به نقطه عزیمت خود برگردد، سرعت کشتی را در آب ساکن پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب کیلومتر بر ساعت بدهید.

مشاهده راه حل

نتیجه ریشه بین اعداد 300 و 400 است:

300 2 =90000 400 2 =160000

در واقع 90000<148996<160000.

ماهیت استدلال بیشتر به تعیین نحوه قرارگیری (فاصله) عدد 148996 نسبت به این اعداد می رسد.

بیایید تفاوت ها را محاسبه کنیم 148996 - 90000=58996 و 160000 - 148996=11004.

معلوم می شود که 148996 نزدیک (بسیار نزدیکتر) به 160000 است. بنابراین، نتیجه ریشه قطعاً بیشتر از 350 و حتی 360 خواهد بود.

می‌توان نتیجه گرفت که نتیجه ما بزرگ‌تر از 370 است. علاوه بر این، واضح است: از آنجایی که 148996 به عدد 6 ختم می‌شود، به این معنی است که باید عددی را که به 4 یا 6 ختم می‌شود مربع کنیم. .

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

برگشت