Данный раздел основных формул ТОЭ предназначен для начинающих, как для студентов высших учебных заведений изучающих курс физики по электротехники, так и просто для интересующихся общей электротехникой /ТОЭ/ с примерами и комментариями автора:
Прежде чем перейти к формулам, обращу Ваше внимание на буквенное обозначение в ТОЭ, в разных учебниках по ТОЭ, мягко говоря, обозначение довольно произвольное, нет единого требования по данному вопросу в электротехнике. Особенно заметна разность обозначения в комплексных числах (как грибы в лесу, как только их не называют в разных местностях). Поэтому определимся сразу с буквенным обозначением : 😥
При расчётах всегда приводить все значения в одну единицу, например если расчеты по мощности в ваттах, соответственно напряжение в вольтах, сопротивление в омах и т.д.
- А теперь формулы по электротехнике (ТОЭ) часто применяемые для расчетов (дома, на работе), рассмотрим в порядке от простых к очень простым, для студенческого сообщества выложу отдельно сложные и очень сложные, и напишу целую лекцию по ТОЭ.
ФОРМУЛЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Закон Ома для участка цепи и всей цепи постоянного тока:
Пример для расчета сопротивления проводника (подробнее можете посмотреть, что такое величина удельного сопротивления проводника на стр . понятия и определения ):
Мощность в цепи постоянного тока, здесь нет ничего сложного, как и все в постоянном токе, замечу только, что значения силы тока и напряжения постоянны и равны мгновенным значениям в любой момент времени, единица мощности (Р) равна -1 кВт = 1000 Вт:
- На заметку д ля любознательных, можно например, электрическую мощность пересчитать в механическую и наоборот: 1 кВт*ч = 367000 кгс*м; 1кВт = 102кгс*м/с, т.е. за 1 кВтч. Т.е. можно поднять груз массой 367 кг на высоту 1 км, или 102 кг за 1 сек. на один метр .
ФОРМУЛЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В отличие от постоянного тока, особенностью переменного тока является то, что электрический ток с течением времени изменяется по величине и направлению. Элементы такой электрической цепи влияют на амплитуду тока и на его фазу. Условное обозначение переменного тока на электроприборах ̴ ( англ . alternating current и обозначается латинскими буквами АС):
Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны, поэтому далее формулы тоэ будут носить более учебный характер, чем практический, иначе говоря для учащихся и просто для любознательных.
Продолжение формулы тоэ:
См. также ниже продолжение раздела формулы:
перейти: краткое описание страницы — электрический ток (I, ампер), электродвижущая сила (ЭДС, E=A/q=Дж/Кл=В, вольт), электрическое напряжение (U, вольт), электрическая энергия и мощность (Eq, Дж, джоуль) и ватт (Р, Вт, ватт)…
Перейти: краткое описание страницы — пассивные элементы цепи (резистор, катушка индуктивности и конденсатор), их основные характеристики и параметры…
Автор сайта надеяться, что информация Вам будет полезна, как доступно простая, так и более углублённая в других разделах сайта. Не забывайте просмотреть рекламу от гугл, реклама для Вас бесплатно, а мне развитие сайта, удачи.
В цепь переменного электрического тока входят активные (содержащие внутренние источники энергии) и пассивные элементы (потребители энергии). К пассивным элементам относят резисторы и реактивные устройства.
Виды пассивных элементов
В электротехнике рассматривают два типа резисторов: активное и реактивное сопротивление. Активным – обладают приборы, в которых энергия электрического тока преобразуется в тепловую. В физике оно обозначается символом R. Единица измерения – Ом.
Этой формулой можно пользоваться для расчёта по мгновенным значениям тока и напряжения, максимальным или действующим.
Реактивные устройства энергию не рассеивают, а накапливают. К ним относятся:
- катушка индуктивности;
- конденсатор.
Реактивное сопротивление обозначается символом Х. Единица измерения – Ом.
Катушка индуктивности
Представляет собой проводник, выполненный в форме спирали, винта или винтоспирали. Благодаря высокой инерционности, прибор используют в схемах, которые применяются для уменьшения пульсаций в цепях переменного тока и колебательных контурах, для создания магнитного поля и т.д. Если она имеет большую длину при небольшом диаметре, то катушку называют соленоидом.
Для вычисления падения напряжения (U ) на концах катушки используют формулу:
U = –L·DI/Dt, где:
- L – индуктивность прибора, измеряется в Гн (генри),
- DI – изменение силы тока (измеряется в амперах) за промежуток времени Dt (измеряется в секундах).
Внимание! При любом изменении тока в проводнике возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует этому изменению.
Вследствие этого в катушке возникает сопротивление, которое называется индуктивным.
В электротехнике обозначается Х L и рассчитывается по формуле:
где w – угловая частота, измеряется в рад/с.
Угловая частота является характеристикой гармоничного колебания. Связана с частотой f (количество полных колебаний в секунду). Частота измеряется в колебаниях в секунду (1/с):
w = 2 · p · f.
Если в схеме используется несколько катушек, то при их последовательном соединении общее Х L для всей системы будет равно:
XL = XL1 + XL2 + …
В случае параллельного соединения:
1/XL = 1/XL1 + 1/XL2 + …
Закон Ома для такого соединения имеет вид:
где UL – падение напряжения.
Помимо индуктивного, устройство обладает и активным R.
Электрический импеданс в этом случае равен:
Емкостной элемент
В проводниках и обмотке катушки, кроме индуктивного и активного сопротивлений, присутствует и емкостное, которое обусловлено наличием ёмкости в этих приборах. Кроме резистора и катушки, в схему может быть включен конденсатор, который состоит из двух металлических пластин, между которыми размещён слой диэлектрика.
К сведению. Электрический ток протекает за счёт того, что в устройстве проходят процессы заряда и разряда пластин.
При максимальном заряде на пластинах прибора:
За счёт того, что резистивное устройство может накапливать энергию, его используют в приборах, которые стабилизируют напряжение в цепи.
Возможность накапливать заряд характеризуется ёмкостью.
Реактивное сопротивление конденсатора (ХС) можно рассчитать по формуле:
XC = 1/(w·C), где:
- w – угловая частота,
- С – ёмкость конденсатора.
Единица измерения ёмкости – Ф (фарада).
Учитывая, что угловая частота связана с циклической частотой, расчет значения реактивного сопротивления конденсатора можно выполнить по формуле:
XC=1/(2·p·f·C).
Если в цепи последовательно соединены несколько устройств, то общее X С системы будет равно:
XС = XС1 + XС2 + …
Если соединение объектов параллельное, то:
1/XC = 1/XC1 + 1/XC2+…
Закон Ома для этого случая записывается следующим образом:
где UС – падение напряжения на конденсаторе.
Расчёт цепи
При последовательном соединении I = const в любой точке и, согласно закону Ома, его можно рассчитать по формуле:
где Z – электрический импеданс.
Напряжение на устройствах рассчитывается следующим образом:
UR = I · R, UL = I · XL, UC = I · XC.
Вектор индуктивной составляющей напряжения направлен в противоположную сторону от вектора емкостной составляющей, поэтому:
следовательно, согласно расчётам:
Внимание! Для вычисления значения импеданса можно воспользоваться «треугольником сопротивлений», в котором гипотенузой является значение Z, а катетами – значения X и R.
Если в цепь подключены и конденсатор, и катушка индуктивности, то, согласно теореме Пифагора, гипотенуза (Z ) будет равна:
Так как X = XL – XC , то:
При решении электротехнических задач часто импеданс записывают в виде комплексного числа, в котором действительная часть соответствует значению активной составляющей, а мнимая – реактивной. Таким образом, выражение для импеданса в общем виде имеет вид:
где i – мнимая единица.
Для онлайн расчёта реактивного сопротивления можно использовать программу – калькулятор, которую можно найти в сети Интернет. Подобных сервисов достаточно много, поэтому вам не составит труда подобрать удобный для вас калькулятор.
Благодаря таким Интернет сервисам, можно быстро выполнить нужный расчёт.
Видео
- Электрический ток, плотность тока, электрическое напряжение, энергия при протекании тока, мощность электрического тока
- Электрический ток
Электрический ток — это явление упорядоченного движения электрических зарядов. За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов.Формула электрического тока:
Электрический ток измеряется в амперах. СИ: А .
Электрический ток обозначается латинскими буквами i или I . Символом i(t) обозначается «мгновенное» значение тока, т.е. ток произвольного вида в любой момент времени. В частном случае он может быть постоянным или переменным.
Прописной латинской буквой I обозначается, как правило, постоянное значение тока.
В любом участке неразветвленной электрической цепи протекает одинаковый по величине ток, который прямо пропорционален напряжению на концах участка и обратно пропорционален его сопротивлению. Величина тока определяется по закону Ома:
1) для цепи постоянного тока
2) для цепи переменного тока ,
где U - напряжение, В ;
R - омическое сопротивление, Ом ;
Z - полное сопротивление, Ом .
Омическое сопротивление проводника:
,
где l - длина проводника, м ;
s - поперечное сечение, мм 2 ;
ρ - удельное сопротивление, (Ом · мм 2) / м .
Зависимость омического сопротивления от температуры:
R t = R 20 ,
где R 20 - сопротивление при 20°C , Ом ;
R t - сопротивление при t°C , Ом ;
α - температурный коэффициент сопротивления.
Полное сопротивление цепи переменного тока:
,
где - активное сопротивление, Ом ;
- индуктивное сопротивление, Ом ;
- индуктивность, Гн ;
- емкостное сопротивление, Ом ;
- ёмкость, Ф .
Активное сопротивление больше омического сопротивления R :
,
где - коэффициент, учитывающий увеличение сопротивления при переменном токе, зависящий от: частоты тока; магнитных свойств, проводимости и диаметра проводника.
При промышленной частоте, для нестальных проводников, принимают и считают . - Плотность тока
Плотность тока (j ) — это сила тока, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения (s )
.
Для равномерного распределения плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, формула плотности тока принимает вид:
,
где I - сила тока через поперечное сечение проводника площадью s .
СИ: А/м 2 - Электрическое напряжение
При протекании тока, как и при всяком перемещении зарядов, происходит процесс преобразования энергии. Электрическое напряжение — количество энергии, которое необходимо затратить на перемещение единицы заряда из одной точки в другую.
Формула электрического напряжения:
Электрическое напряжение обозначается латинской буквой u . Символом u(t) обозначается «мгновенное» значение напряжения, а прописной латинской буквой U обозначается, как правило, постоянное напряжение.
Электрическое напряжение измеряется в вольтах. СИ: В . - Энергия при протекании электрического тока
Формула энергии, при протекании электрического тока:
СИ: Дж - Мощность при протекании электрического тока
Формула мощности, при протекании электрического тока:
СИ: Вт .
- Электрическая цепь
- Электрическая цепь
— это совокупность устройств, предназначенных для протекания по ним электрического тока.
Эти устройства называются элементами цепи. - Источники электрической энергии — устройства, преобразующие различные виды энергии, например механическую или химическую, в энергию электрического тока.
- Идеальный источник напряжения
— источник, напряжение на зажимах которого не зависит от величины протекающего через него тока.
Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения можно условно принять равным нулю. - Идеальный источник тока
— источник, величина протекающего тока через который не зависит от напряжения на его зажимах.
Внутреннее сопротивление такого источника можно условно принять равным бесконечности. - Приемник — это устройство, потребляющее энергию или преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии.
- Двухполюсник — это цепь, имеющая два зажима для подключения (полюса).
- Идеальный R-элемент (резистивный элемент, резистор)
— это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.
Основной параметр резистора — это его сопротивление.
Сопротивление измеряется в омах. СИ: Ом
Проводимость — это обратная величина по отношению к сопротивлению.
.
Измеряется проводимость в сименсах. СИ: См .
Формула мощности R-элемента:
.
Формула энергии R-элемента:
. - Идеальный С-элемент (емкостной элемент, или конденсатор)
— это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию электрического поля и наоборот. В идеальном C-элементе потери энергии отсутствуют.
Формула ёмкости:
. Примеры: , .
Ток в ёмкости:
Напряжения на ёмкости:
.
Закон коммутации для емкостного элемента. При токе конечной амплитуды заряд на C-элементе не может измениться скачком: .
.
При неизменной ёмкости, напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком: .
Мощность C-элемента: .
При p > 0 — энергия запасается, при p < 0
Энергия C-элемента:
, или
.
Емкость измеряется в фарадах. СИ: Ф . - Идеальный L-элемент (индуктивный элемент или катушка индуктивности)
— это такой пассивный элемент цени, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию магнитного поля и наоборот. В идеальном L-элементе потери энергии отсутствуют.
Для линейного L-элемента формула индуктивности (L ) имеет вид:
,
где — потокосцепление.
Индуктивность обозначается буквой и играет роль коэффициента пропорциональности между потоком и током .
Напряжение на индуктивном элементе:
.
Ток в индуктивном элементе:
.
Закон коммутации для индуктивного элемента. При напряжении конечной амплитуды, потокосцепление не может измениться скачком: .
.
При неизменной индуктивности ток в индуктивном элементе не может измениться скачком: .
Мощность L-элемента: .
При p > 0 — энергия запасается, при p < 0 — энергия возвращается в источник.
Энергия L-элемента:
, или
.
Если к моменту времени , энергия равна 0, то
Индуктивность измеряется в генри. СИ: Гн
Пример: . - R, L, C
— основные пассивные двухполюсные элементы электрических цепей.
- Основные законы электрических цепей
- Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС
.
Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке.
Применительно к данному рисунку, математическое выражение закона Ома имеет вид:
, или
Формулируется это равенство так: при неизменном сопротивлении проводника напряжение на нем пропорционально току в проводнике. - Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС
Для схемы
.
Для схемы
.
В общем случае
. - Закон Джоуля-Ленца
. Энергия, выделяемая на сопротивлении R
при протекании по нему тока I
, пропорциональна произведению квадрата силы тока и величины сопротивления:
- Законы Кирхгофа
.
Топология (строение) цепи.
Электрическая схема — графическое изображение электрической цепи.
Ветвь ‐ участок цепи, содержащий один или несколько последовательно соединенных элементов и заключенный между двумя узлами.
Узел ‐ точка цепи, где сходится не менее трех ветвей. Узлы нумеруют произвольно, как правило, арабской цифрой. На схеме узел может быть обозначен точкой, а может и не быть обозначен. Как правило, не обозначают те узлы, расположение которых очевидно (т‐образные соединения). Если пересекающиеся ветви образуют узел, то он обозначается точкой. Если в месте пересечения ветвей точки нет, то и узла нет (провода лежат друг на друге).
Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Контуры независимы, если отличаются хотя бы одной ветвью. Контура обозначают стрелкой с указанным направлением обхода и римской цифрой. Направление обхода выбирают произвольно. Независимых контуров в схеме может быть много, при этом не все эти контура необходимы для составления достаточного для решения задачи количества уравнений.
1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:
;
2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов:
. .
Второй закон Кирхгофа:
1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:
2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
. . - Матричная форма записи уравнений Кирхгофа
:
,
где А , В - коэффициентов при токах и напряжениях порядка p х p (p - число ветвей схемы; q - число узлов схемы);
I , E - неизвестных токов и заданных ЭДС
Элементами матрицы А являются коэффициенты при токах в левой части уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Первые строки матрицы А содержат коэффициенты при токах в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, и имеют элементы +1, -1, 0 в зависимости от того, с каким знаком входит данный ток в уравнение.
Элементы следующих строк матрицы А равны значениям сопротивлении при соответствующих токах в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, с соответствующим знаком. Элементы матрицы В равны коэффициентам при ЭДС в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Первые строки матрицы имеют нулевые элементы, так как ЭДС в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные строки содержат элементы +1, -1 в зависимости от того, с каким знаком входит ЭДС в уравнение, и 0, если ЭДС в уравнения не входит.
Общее решение уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
,
где — матрица проводимостей.
.
Токи в каждой ветви:
;
;
. - Номинальный режим работы элемента электрической цепи — это режим, при котором он работает с номинальными параметрами.
- Согласованный режим — это режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, имеет максимальное значение. Такое значение получается при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи.
- Режим холостого хода — это такой режим, при котором через источник или приемник не протекает электрический ток. При этом источник не отдает энергию во внешнюю часть цепи, а приемник не потребляет ее. Для двигателя это будет режим без механической нагрузки навалу.
- Режим короткого замыкания — это режим, возникающий при соединении между собой разноименных зажимов источника или пассивного элемента, а также участка электрической цепи, находящегося под напряжением.
- Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю
:
, так как - Постоянный ток через емкость не проходит .
- — это цепь с одним источником при последовательном, параллельном или смешанном соединение приемников.
При последовательном соединении приемников:
I×R экв ;
R экв =ΣR i .
При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.
По закону Ома токи в каждой ветви:
.
По первому закону Кирхгофа общий ток:
E×G экв ;
G экв =G 1 +G 2 +…+G n ; R экв =1/G экв .
При смешанном соединении:
R экв = . - Метод контурных токов
.
Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете сложных систем число решаемых уравнений.
Во взаимно независимых контурах, где для каждого контура хотя бы одна ветвь входит только в этот контур, рассматривают условные контурные токи во всех ветвях контура.
Контурные токи, в отличие от токов ветвей, имеют следующие индексы: или
Уравнения составляют по второму закону Кирхгофа для контурных токов.
Токи ветвей выражают через контурные токи по первому закону Кирхгофа.
Число выбираемых контуров и число решаемых уравнений равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: .
Сумма сопротивлений всех резистивных элементов каждого контура со знаком плюс является коэффициентом при токе контура, имеет следующие индексы: или
Знак коэффициента при токе смежных контуров зависит от совпадения или несовпадения направления смежных контурных токов. ЭДС входят в уравнение со знаком плюс, если направления ЭДС и направление тока контура совпадают. . - Метод узловых потенциалов
.
Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до . При составлении уравнений потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а токи ветвей выражают через неизвестные потенциалы остальных узлов схемы и для них записывают уравнения по первому закону Кирхгофа. Решение системы уравнений позволяет определить неизвестные потенциалы, а через них найти токи ветвей.
При http:="" title="U_{12}={sum{i=1}{m}{E_i/R_i}}/{sum{i=1}{n}{1/R_i}}={sum{i=1}{m}{E_i*G_i}}/{sum{i=1}{n}{G_i}}">.
. - Метод пропорциональных величии
.
Метод применяют для нахождения неизвестных токов при цепочечном соединении резистивных элементов в электрических цепях с одним источником. Токи и напряжения, а также и известную ЭДС цепи выражают через ток самой удаленной от источника ветви. Задача сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным. - Баланс мощностей
На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:
.
— сумма мощностей, развиваемых источниками;
— сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников.
Баланс мощностей составляют, чтобы проверить правильность найденного решения. При этом сравнивают мощность, внесенную в цепь источниками энергии с мощностью, затрачиваемой потребителями.
Формула мощности для одного резистора:
Суммарная мощность потребителей:
P П =
Мощность источников:
P ист = P E + P J ,
где P E = ±EI — мощность источника ЭДС (определятся умножением его ЭДС на ток, протекающий в данной ветви. Ток берут со знаком, полученным в результате расчета. Минус перед произведением ставят, если направление тока и ЭДС не совпадают на схеме);
P J = JU J — мощность источника тока (определятся умножением тока источника на падение напряжения на нем).
Для определения U J выбирают любой контур, который включал бы в себя источник тока. Обозначают падение U J на схеме против тока источника, и записывают контурное уравнение. Все величины, кроме U J , в данном уравнении уже известны, что позволяет рассчитать падение напряжения U J .
Сравнение мощностей: P ист = P П . Если равенство соблюдено, значит, баланс сошелся и расчет токов верен. - Алгоритм расчета цепи по законам Кирхгофа
- Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов.
- Произвольно наносим на схему номера узлов.
- Составляем узловые уравнения для произвольно выбранных узлов (по первому закону).
- Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода.
- Количество обозначаемых контуров равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. При этом ни один из контуров не должен включать в себя ветвь с источником тока.
- Составляем контурные уравнения для выбранных контуров (по второму закону).
- Объединяем составленные уравнения в систему. Известные величины переносим в правую часть уравнений. Коэффициенты при искомых токах вносим в матрицу А (левые части уравнений)(о матрицах читаем ). Заполняем матрицу F , занося в нее правые части уравнений.
- Решаем полученную систему уравнений ().
- Проверяем правильность решения составлением баланса мощностей.
Пример: .
- Электрическая цепь синусоидального тока
— это электрическая цепь, в которой ЭДС, напряжения и и токи, изменяющиеся по синусоидальному закону:
- Переменный ток — это ток, периодически меняющийся по величине и направлению и характеризующийся амплитудой, периодом, частотой и фазой.
- Амплитуда переменного тока — это наибольшее значение, положительное или отрицательное, принимаемое переменным током.
- Период — это время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.
- Частота — это величина, обратная периоду.
- Фаза — это угол или , стоящий под знаком синуса. Фаза характеризует состояние переменного тока с течением времени. При t =0 фаза называется начальной.
- Периодический режим
: . К такому режиму может быть отнесен и синусоидальный:
,
где — амплитуда;
— начальная фаза;
— угловая скорость вращения ротора генератора.
При f = 50 Гц рад/с. - Синусоидальный ток
— это ток изменяющийся во времени по синусоидальному закону:
. - Среднее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
,
то есть среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного. Аналогично,
. - Действующее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
. Аналогично,
. - Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током, формула:
.
Действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты,что и синусоидальный ток.
=R×I пост 2 ×T или I пост =I = - Коэффициент амплитуды синусоидального тока (κ a) - это отношение амплитуды синусоидального тока к действующему значению синусоидального тока: .
- Коэффициент формы синусоидального тока (κ ф)
— это отношение действующего значения синусоидального тока к среднему за пол периода значению синусоидального тока:
κ ф =.
Для несинусоидальных периодических токов κ a ≠, κ ф ≠1,11. Это отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального. - любое комплексное число можно представить:
а) в алгебраической форме
б) в тригонометрической форме
в) в показательной форме
rде — формула Эйлера;
г) вектором на комплексной плоскости,
где — мнимая единица;
— реальная часть комплексного числа (проекция вектора на ось вещественных);
— мнимая часть комплексного числа (проекция вектора на ось мнимых);
— модуль комплексного числа;
— главное значение аргумента комплексного числа.
Решенные примеры по действиям над комплексными числами . - Синусоидальному току i .
- Комплексная амплитуда тока
— комплексное число модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока:
. - Комплексный ток (комплексный действующий ток)
:
- Синусоидальному напряжению u может быть поставлено в соответствие комплексное число .
- Комплексная амплитуда напряжения
— комплексное число модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального напряжения:
. - Комплексное сопротивление:
Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.
Реактивное сопротивление в комплексной форме выражается мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (X L ) положительно, а емкостное (X C ) отрицательно.
Полное сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть равна активному сопротивлению, а мнимая часть реактивному сопротивлению этого участка. - Треугольник сопротивлений:
- Треугольник напряжений:
- Треугольник мощностей:
Полная мощность:
Активная мощность:
Реактивная мощность: - Закон Ома в комплексной форме:
. - Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
. - Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
. - Резонанс напряжений.
Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз между напряжением и током равна нулю .
Режим резонанса может быть получен при изменении частоты ω питающего напряжения или изменением параметров L и C .
При последовательном соединении возникает резонанс напряжения.
Ток в схеме равен:
При совпадении вектора тока с вектором напряжения по фазе:
где — резонансная частота напряжения, определяемая из условия
Тогда
Волновое или характеристическое сопротивление последовательного контура:
Добротность контура — это отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению на входе в режиме резонанса:
Добротность контура представляет собой коэффициент усиления по напряжению:
U Lрез =I рез X рез =
В промышленных сетях резонанс напряжений является аварийным режимом, так как увеличение напряжения на конденсаторе может привести к его пробою, а рост тока — к нагреву проводов и изоляции. - Резонанс токов.
Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении реактивных элементов в цепях переменного тока. В этом случае: где
тогда
При резонансной частоте реактивные составляющие проводимости могут сравниться по модулю и суммарная проводимость будет минимальной. При этом общее сопротивление становится максимальным, общий ток минимальным, вектор тока совпадает с вектором напряжения. Такое явление называется резонансом токов.
Волновая проводимость: .
При g << b L ток в ветви с индуктивностью значительно больше общего тока, поэтому такое явление называется резонансом токов.
Резонансная частота:
ω* =
Из формулы следует:
1) резонансная частота зависит от параметров не только реактивных сопротивлений, но и активных;
2) резонанс возможен, если R L и R C больше или меньше ρ , в противном случае частота будет мнимой величиной и резонанс не возможен;
3) если R L = R C = ρ , то частота будет иметь неопределенное значение, что означает возможность существования резонанса на любой частоте при совпадении фаз напряжения питания и общего тока;
4) при R L = R C << ρ резонансная частота напряжения равна резонансной частоте тока.
Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам при резонансе напряжений.
Реактивная мощность при резонансе токов равна нулю. Подробно, реактивная мощность рассмотрена
- Режимы работы электрических цепей
- Электрические цепи постоянного тока
- Электрические цепи переменного тока
- Основы комплексноrо метода расчета электрических цепей
- Резонансные явления в электрических цепях
Идеальное активное сопротивление не зависит от частоты, индуктивное сопротивление линейно зависит от частоты, емкостное сопротивление зависит от частоты по гиперболическому закону:
1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?
2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?
3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.
4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?
5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.
6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?
7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.
8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.
9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.
6.4.2. Расчет электрических параметров цепи
Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.
Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.
Анализ и решение задачи 1
1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи
Индуктивное реактивное сопротивление
X L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10 -3 Ом.
Емкостное реактивное сопротивление
X C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10 -6) Ом.
Реактивное и полное сопротивления всей цепи:
X = X L - X C = 3 Ом; Ом.
2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи
Ток в цепи
I = U / Z = 120 / 5 А.
Напряжения на участках:
U 1 = R I = 96 В; U 2 = X L I = 192 В; U 3 = X C I = 120 В.
3. Вычисление мощностей
Активная мощность
P = R I 2 = U 1 I = 2304 Вт.
Реактивные мощности:
Q L = X L I 2 = U 2 I = 4608 ВАр; Q C = X C I 2 = U 3 I = 2880 ВАр.
Полная мощность цепи
4. Расчет цепи методом комплексных чисел
Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи
R = 4e j0° = 4 Ом; X L = 8e +j90° = j8 Ом; X C = 5e -j90° = -j5 Ом.
Z = R + j(X L - X C) = 4 + j(8 - 5) Ом.
На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).
Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ
Ом;
.
В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде
Z = Ze +jφ = 5e +j37° Ом.
Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи
Í = Ú / Z = 120e +j0° / 5e +j37° А.
Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.
P = 2304 Вт; Q L = 4608 ВАр; Q C = 2880 ВАр.
.
Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности
S 2 = P 2 + (Q L - Q C) 2 .
Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.
Í = Ie +j0° / 24e +j0° А.
Запишем выражения для напряжений в комплексной форме
Ú 1 = R Í = 96e +j0° В; Ú 2 = X L Í = 192e +j90° В;
Ú 3 = X C Í = 120e -j90° В; Ú = Z Í = 120e +j37° В.
Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи
Ú = Ú 1 + Ú 2 + Ú 3 .
Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú 1 совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú 2 опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.
Дополнительные вопросы к задаче 1
1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?
По условию задачи X L > X C , поэтому X = X L - X C имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (X L , X C) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае X L > Z.
2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?
От частоты зависят реактивные сопротивления: X L прямо пропорционально частоте f, X C обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме X L > X C , поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором U L = U C , Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты X C > X L , Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.