Как отмечалось выше, потенциал электрического поля заряженного проводника имеет одинаковую величину во всех точках проводника. Если принять потенциал этого электрического поля на бесконечности равным нулю, то между зарядом проводника, находящегося достаточно далеко от других проводников, и его потенциалом имеется линейное соотношение

где коэффициент пропорциональности , зависящий от геометрических характеристик проводника и свойств окружающей среды, называется ёмкостью уединённого проводника .

В случае проводящего шара радиусом , находящегося в вакууме, его ёмкость

Если Землю считать проводящим шаром с радиусом , то её ёмкость окажется равной . Опыт показывает, что благодаря грозовой деятельности Земля обладает отрицательным зарядом ~, который создаёт вблизи её поверхности постоянное электрическое поле ~. Благодаря проводимости своего тела человек не чувствует это поле, поскольку поле индуцированных зарядов полностью компенсирует электрическое поле Земли во всех точках тела. Атмосфера Земли в целом обладает положительным зарядом, причём разность потенциалов между верхними слоями атмосферы и поверхностью Земли достигает .

Если взять два проводника и один из них зарядить положительным зарядом , а другой – отрицательным зарядом , то разность потенциалов этих проводников связана с зарядом линейным соотношением

где C - ёмкость данной системы проводников, которая называется конденсатором , V – напряжение на конденсаторе.

Ёмкость конденсатора зависит от геометрии проводников, называемых обкладками конденсатора, и характеристик среды между этими обкладками. Приведём формулы, описывающие ёмкость основных типов конденсаторов для случая, когда между их обкладками создан вакуум.

Если пространство между обкладками конденсатора заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , то его ёмкость

Таким образом, ёмкость конденсатора может быть увеличена за счёт увеличения площади пластин и относительной диэлектрической проницаемости среды, а также уменьшения расстояния между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора равна работе сил, которая совершается при разделении зарядов с противоположными знаками в процессе его зарядки. Допустим, что бесконечно малый заряд перемещается от отрицательно заряженной обкладки конденсатора с потенциалом к положительно заряженной обкладке . При бесконечно медленном перемещении такого заряда работа, совершаемая внешней силой,

, (4.13)

где - заряд конденсатора и C – емкость конденсатора.

Полная работа внешней силы при зарядке конденсатора

, (4.14)

где - конечный заряд конденсатора и - конечное напряжение на конденсаторе. По определению энергия заряженного конденсатора

В формуле (4.14) носителями энергии заряженного конденсатора являются заряды на обкладках конденсатора, что соответствует теории дальнодействия. В этой теории энергия заряженного конденсатора есть потенциальная энергия взаимодействия зарядов, равная работе внешней силы при пространственном разделении зарядов с противоположными знаками.

Согласно теории близкодействия носителем энергии заряженного конденсатора является электрическое поле, распределённое между обкладками конденсатора. Для предания формуле (4.14) новой физической интерпретации перепишем её для частного случая плоского конденсатора следующим образом

где - объём области между обкладками конденсатора и

Электрическая емкость уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других провод­ников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряжен­ными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

называют электроемкостью (или просто емкостью ) уединённого проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изме­няет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости -фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного провод­ника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однород­ной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в ваку­уме и имеющий радиус ≈9∙10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), михрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной ε 0 - фарад на метр (Ф/м) (см.(78.3)).

§ 94. Конденсаторы

Как видно из § 93, для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, об­ладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов .

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q, будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенци­ал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми заря­дами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся наплоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начина­ются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, воз­никающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными заря­дами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отноше­нию заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

(94.1)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и -Q,. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потен­циалов между ними, согласно (86.1),

(94.2)

где ε - диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиаль­ных цилиндров с радиусами r 1 и г 2 (r 2 >r 1), вставленных одни в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью (l- длина обкладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.4)

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и г 2 (r 2 >r 1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

(94.7)

Если то и Таккак 4πг 2 -площадь сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравне­нию с их радиусами в формуле (94.5) можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к формуле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.

Энергию можно накапливать, поднимая груз (часы-ходики с кукушкой), закручивая пружину (обычные механические часы), сжимая газ (пневматическое оружие). Энергию можно также накапливать в виде электро­статического поля. Для этого служат устройства, называемые конденсаторами. В самом грубом приближении любой конденсатор - это пара проводников (обкладок), между которыми создается некая разность потенциалов . Способность конденсатора накапливать энергию в форме электростатического поля характеризуется величиной его емкости. Сам этот термин восходит к временам, когда бытовало представление об электрической жидкости. Представим себе сосуд, который мы наполняем та­кой жидкостью. Ее уровень (перепад высот между дном сосуда и поверх­ностью жидкости) соответствует разности потенциалов , до которой заряжается конденсатор. А количество жидкости в сосуде - заряду , сообщаемому конденсатору. В зависимости от формы сосуда, при том же уровне (разности потенциалов) в него войдет больше или меньше жидкости (зарядов). Отношение и называется емкостью конденсатора.

Уединенные проводники также обладают емкостью. Роль второй обкладки играют при этом бесконечно удаленные точки пространства. Рассмотрим, например, заряженную сферу радиусом . Вне сферы имеется кулоновское электрическое поле

направленное вдоль радиуса. Потенциал, создаваемый заряженной сферой при , дается выражением

Внутри проводящей сферы , и, следовательно, потенциал во всех точках этой сферы постоянен и совпадает со значением потенциала на её поверхности:

Это значение в сущности является разностью потенциалов между поверхностью сферы и бесконечно удаленной точкой. По определению емкости

В СИ за единицу емкости принят фарад (в честь М. Фарадея): фарад это емкость такого проводника, которому для повышения потенциала на 1 В, необходимо сообщить заряд в 1 Кл:

Соотношение для емкости уединенной сферы в вакууме показывает, что 1 Ф - это емкость шара с радиусом м, что в 13 раз превышает радиус Солнца и в 1413 раз - радиус Земли. Таким образом, емкость Земли составляет примерно 1/1413 Ф, т. е. мкФ. Иными словами, 1 Ф - это огромная емкость. Изготовлять конденсаторы такой емкости научились лишь относительно недавно, главным образом, благодаря совершенствованию технологии нанесения сверхтонких диэлектрических и металлических пленок. Например, габаритный размер конденсатора фирмы NEC/TOKIN (www.nec-tokin.net/now/english/index.html) емкостью в 1 Ф меньше 22 мм, а его масса 6,7 грамма.

← Вернуться