Všeobecné vety o dynamike sústavy telies. Vety o pohybe ťažiska, o zmene hybnosti, o zmene hlavného momentu hybnosti, o zmene kinetickej energie. D'Alembertove princípy a možné pohyby. Všeobecná rovnica dynamiky. Lagrangeove rovnice.

Obsah

Práca vykonaná silou, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov sily a nekonečne malému posunutiu bodu jeho pôsobenia:
,
to znamená súčin absolútnych hodnôt vektorov F a ds kosínusom uhla medzi nimi.

Práca vykonaná momentom sily, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov krútiaceho momentu a nekonečne malého uhla natočenia:
.

d'Alembertov princíp

Podstatou d'Alembertovho princípu je redukovať problémy dynamiky na problémy statiky. Na to sa predpokladá (alebo je to vopred známe), že telesá systému majú určité (uhlové) zrýchlenia. Ďalej sa zavedú zotrvačné sily a (alebo) momenty zotrvačných síl, ktoré majú rovnakú veľkosť a opačný smer ako sily a momenty síl, ktoré by podľa zákonov mechaniky vytvorili dané zrýchlenia alebo uhlové zrýchlenia.

Pozrime sa na príklad. Teleso prechádza translačným pohybom a pôsobia naň vonkajšie sily. Ďalej predpokladáme, že tieto sily vytvárajú zrýchlenie ťažiska systému. Podľa vety o pohybe ťažiska by ťažisko telesa malo rovnaké zrýchlenie, ak by na teleso pôsobila sila. Ďalej predstavíme silu zotrvačnosti:
.
Potom problém dynamiky:
.
;
.

Pre rotačný pohyb postupujte rovnakým spôsobom. Nech sa teleso otáča okolo osi z a pôsobia naň vonkajšie momenty sily M e zk . Predpokladáme, že tieto momenty vytvárajú uhlové zrýchlenie ε z. Ďalej zavedieme moment zotrvačných síl M И = - J z ε z. Potom problém dynamiky:
.
Zmení sa na problém so statikou:
;
.

Princíp možných pohybov

Princíp možných posunov sa využíva pri riešení statických problémov. V niektorých úlohách dáva kratšie riešenie ako skladanie rovnovážnych rovníc. To platí najmä pre systémy so spojeniami (napríklad systémy telies spojených závitmi a blokmi) pozostávajúce z mnohých telies

Princíp možných pohybov.
Pre rovnováhu mechanický systém pri ideálnych spojeniach je potrebné a postačujúce, aby súčet elementárnych prác všetkých aktívnych síl pôsobiacich naň pre akýkoľvek možný pohyb sústavy bol rovný nule.

Možné premiestnenie systému- ide o malý pohyb, pri ktorom nie sú prerušené spojenia uložené v systéme.

Ideálne spojenia- to sú spojenia, ktoré nevykonávajú prácu, keď sa systém pohybuje. Presnejšie, množstvo práce vykonanej samotnými spojmi pri pohybe systému je nulové.

Všeobecná rovnica dynamiky (D'Alembert - Lagrangeov princíp)

D'Alembert-Lagrangeov princíp je kombináciou D'Alembertovho princípu s princípom možných pohybov. To znamená, že pri riešení dynamickej úlohy zavedieme zotrvačné sily a úlohu zredukujeme na statickú úlohu, ktorú riešime na princípe možných posunov.

D'Alembert-Lagrangeov princíp.
Keď sa mechanický systém s ideálnymi spojeniami pohybuje, v každom časovom okamihu je súčet základných prác všetkých pôsobiacich aktívnych síl a všetkých zotrvačných síl na akýkoľvek možný pohyb systému nulový:
.
Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovnica dynamiky.

Lagrangeove rovnice

Zovšeobecnené q súradnice 1, q2, ..., qn je množina n veličín, ktoré jednoznačne určujú polohu sústavy.

Počet zovšeobecnených súradníc n sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti systému.

Všeobecné rýchlosti sú deriváty zovšeobecnených súradníc vzhľadom na čas t.

Zovšeobecnené sily Q 1, Q2, ..., Qn .
Uvažujme možný pohyb sústavy, pri ktorom súradnica q k dostane pohyb δq k. Zostávajúce súradnice zostávajú nezmenené. Nech je δA k vykonaná práca vonkajšie sily s takýmto pohybom. Potom
δA k = Q k δq k, alebo
.

Ak sa pri možnom pohybe sústavy zmenia všetky súradnice, potom práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto pohybe má tvar:
5A = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potom sú zovšeobecnené sily čiastočnými derivátmi práce na posunoch:
.

Pre potenciálne sily s potenciálom Π,
.

Lagrangeove rovnice sú pohybové rovnice mechanického systému vo všeobecných súradniciach:

Tu je T kinetická energia. Je funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a prípadne času. Preto je aj jeho parciálna derivácia funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a času. Ďalej musíte vziať do úvahy, že súradnice a rýchlosti sú funkciami času. Preto, aby ste našli celkovú deriváciu vzhľadom na čas, musíte použiť pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretická mechanika, « absolventská škola“, 2010.

Kinematika bodu.

1. Predmet teoretickej mechaniky. Základné abstrakcie.

Teoretická mechanika- je veda, v ktorej sa študujú všeobecné zákonitosti mechanického pohybu a mechanickej interakcie hmotných telies

Mechanický pohybje pohyb telesa vo vzťahu k inému telesu, vyskytujúci sa v priestore a čase.

Mechanická interakcia je interakcia hmotných telies, ktorá mení charakter ich mechanického pohybu.

Statika je odvetvie teoretickej mechaniky, v ktorom sa študujú metódy transformácie sústav síl na ekvivalentné sústavy a stanovujú sa podmienky pre rovnováhu síl pôsobiacich na pevné teleso.

Kinematika - je odbor teoretickej mechaniky, ktorý študuje pohyb hmotných telies v priestore z geometrického hľadiska bez ohľadu na sily, ktoré na ne pôsobia.

Dynamika je odbor mechaniky, ktorý študuje pohyb hmotných telies v priestore v závislosti od síl, ktoré na ne pôsobia.

Predmety štúdia teoretickej mechaniky:

hmotný bod,

systém hmotných bodov,

Absolútne pevné telo.

Absolútny priestor a absolútny čas sú na sebe nezávislé. Absolútny priestor - trojrozmerný, homogénny, nehybný euklidovský priestor. Absolútny čas - plynie z minulosti do budúcnosti nepretržite, je homogénna, vo všetkých bodoch priestoru rovnaká a nezávisí od pohybu hmoty.

2. Predmet kinematiky.

kinematika - je to odvetvie mechaniky, v ktorom sa skúmajú geometrické vlastnosti pohybu telies bez zohľadnenia ich zotrvačnosti (t.j. hmotnosti) a síl, ktoré na ne pôsobia.

Na určenie polohy pohybujúceho sa telesa (alebo bodu) s telom, voči ktorému sa pohyb tohto telesa študuje, je pevne spojený nejaký súradnicový systém, ktorý spolu s telom tvorí referenčný systém.

Hlavná úloha kinematiky je pri poznaní zákona o pohybe daného telesa (bodu) určiť všetky kinematické veličiny, ktoré charakterizujú jeho pohyb (rýchlosť a zrýchlenie).

3. Metódy určenia pohybu bodu

· Prirodzenou cestou

Malo by byť známe:

Trajektória bodu;

Pôvod a smer referencie;

Zákon pohybu bodu po danej trajektórii v tvare (1.1)

· Súradnicová metóda

Rovnice (1.2) sú pohybové rovnice bodu M.

Rovnicu pre trajektóriu bodu M možno získať odstránením parametra času « t » z rovníc (1.2)

· Vektorová metóda

(1.3) Vzťah medzi súradnicovými a vektorovými metódami určenia pohybu bodu (1.4)

Vzťah medzi súradnicovými a prirodzenými metódami špecifikácie pohybu bodu

Určte trajektóriu bodu odstránením času z rovníc (1.2);

-- nájdite zákon pohybu bodu pozdĺž trajektórie (použite výraz pre diferenciál oblúka)

Po integrácii dostaneme zákon pohybu bodu po danej trajektórii:

Súvislosť medzi súradnicovou a vektorovou metódou špecifikácie pohybu bodu určuje rovnica (1.4)

4. Určenie rýchlosti bodu pomocou vektorovej metódy určenia pohybu.

Nechajte v okamihutpoloha bodu je určená vektorom polomeru a v časet 1 – vektor polomeru, potom za určité časové obdobie bod sa pohne.

(1.5) priemerná bodová rýchlosť, smer vektora je rovnaký ako smer vektora

Rýchlosť bodu v danom čase

Na získanie rýchlosti bodu v danom čase je potrebné prejsť na limit

(1.6)

(1.7)

Vektor rýchlosti bodu v danom čase rovná prvej derivácii vektora polomeru vzhľadom na čas a smeruje tangenciálne k trajektórii v danom bode.

(jednotka¾ m/s, km/h)

Priemerný vektor zrýchlenia má rovnaký smer ako vektorΔ v , to znamená, že smeruje ku konkávnosti trajektórie.

Vektor zrýchlenia bodu v danom čase rovná prvej derivácii vektora rýchlosti alebo druhej derivácii vektora polomeru bodu vzhľadom na čas.

(jednotka - )

Ako je vektor umiestnený vo vzťahu k trajektórii bodu?

Pri priamočiarom pohybe je vektor nasmerovaný pozdĺž priamky, po ktorej sa bod pohybuje. Ak je trajektóriou bodu plochá krivka, potom vektor zrýchlenia , rovnako ako vektor ср, leží v rovine tejto krivky a smeruje k jej konkávnosti. Ak trajektória nie je rovinná krivka, potom vektor ср bude smerovať ku konkávnosti trajektórie a bude ležať v rovine prechádzajúcej cez dotyčnicu k trajektórii v bode.M a priamka rovnobežná s dotyčnicou v susednom bodeM 1 . IN limit, keď bodM 1 usiluje o M táto rovina zaberá polohu takzvanej oskulačnej roviny. Preto vo všeobecnom prípade vektor zrýchlenia leží v kontaktnej rovine a smeruje ku konkávnosti krivky.

Kurz zahŕňa: kinematiku bodu a tuhého telesa (a z rôznych hľadísk sa navrhuje zvážiť problém orientácie pevný), klasické problémy dynamiky mechanických sústav a dynamiky tuhého telesa, prvky nebeskej mechaniky, pohyb sústav premenného zloženia, impaktová teória, diferenciálne rovnice analytickej dynamiky.

Kurz však prezentuje všetky tradičné sekcie teoretickej mechaniky Osobitná pozornosť venovaný úvahám o najzmysluplnejších a najhodnotnejších častiach dynamiky a metód analytickej mechaniky pre teóriu a aplikácie; statika sa študuje ako sekcia dynamiky a v sekcii kinematiky sú podrobne predstavené pojmy a matematický aparát potrebný pre sekciu dynamiky.

Informačné zdroje

Gantmakher F.R. Prednášky z analytickej mechaniky. – 3. vyd. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Základy teoretickej mechaniky. – 2. vyd. – M.: Fizmatlit, 2001; 3. vyd. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Teoretická mechanika. – Moskva – Iževsk: Výskumné centrum „Pravidelná a chaotická dynamika“, 2007.

Požiadavky

Kurz je určený pre študentov, ktorí ovládajú analytickú geometriu a lineárnu algebru v rámci prvého ročníka technickej univerzity.

Program kurzu

1. Kinematika bodu
1.1. Kinematické problémy. Kartézsky súradnicový systém. Rozklad vektora na ortonormálnej báze. Vektor polomeru a súradnice bodu. Rýchlosť a zrýchlenie bodu. Trajektória pohybu.
1.2. Prírodný trojsten. Rozklad rýchlosti a zrýchlenia v osiach prirodzeného triédra (Huygensova veta).
1.3. Krivkové súradnice bodu, príklady: polárne, valcové a sférické súradnicové systémy. Zložky rýchlosti a projekcie zrýchlenia na osi krivočiareho súradnicového systému.

2. Metódy určenia orientácie tuhého telesa
2.1. Pevné. Pevný súradnicový systém súvisiaci s telom.
2.2. Ortogonálne rotačné matice a ich vlastnosti. Eulerova veta o konečnej rotácii.
2.3. Aktívne a pasívne uhly pohľadu na ortogonálnu transformáciu. Pridanie zákrut.
2.4. Uhly konečného natočenia: Eulerove uhly a "lietadlové" uhly. Vyjadrenie ortogonálnej matice z hľadiska konečných uhlov natočenia.

3. Priestorový pohyb tuhého telesa
3.1. Translačný a rotačný pohyb tuhého telesa. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie.
3.2. Rozloženie rýchlostí (Eulerov vzorec) a zrýchlení (Rivalov vzorec) bodov tuhého telesa.
3.3. Kinematické invarianty. Kinematická skrutka. Okamžitá os skrutky.

4. Rovinnoparalelný pohyb
4.1. Pojem planparalelneho pohybu telesa. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie v prípade planparalelného pohybu. Okamžitý stred rýchlosti.

5. Komplexný pohyb bodu a tuhého telesa
5.1. Pevné a pohyblivé súradnicové systémy. Absolútne, relatívne a prenosné pohyby bodu.
5.2. Veta o sčítaní rýchlostí pri komplexnom pohybe bodu, relatívnej a prenosnej rýchlosti bodu. Coriolisova veta o sčítaní zrýchlení pri komplexnom pohybe bodu, relatívne, transportné a Coriolisove zrýchlenia bodu.
5.3. Absolútna, relatívna a prenosná uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie telesa.

6. Pohyb tuhého telesa s pevným bodom (kvartérna prezentácia)
6.1. Pojem komplexných a hyperkomplexných čísel. Kvartérna algebra. Produkt Quaternion. Konjugovaný a inverzný kvaternión, norma a modul.
6.2. Trigonometrické zobrazenie jednotkového kvaterniónu. Kvartérna metóda špecifikácie rotácie tela. Eulerova veta o konečnej rotácii.
6.3. Vzťah medzi kvartérnymi komponentmi v rôznych bázach. Pridanie zákrut. Parametre Rodrigue-Hamilton.

7. Písomka na skúšku

8. Základné pojmy dynamiky.
8.1 Impulz, moment hybnosti (kinetický moment), kinetická energia.
8.2 Sila síl, práca síl, potenciál a celková energia.
8.3 Ťažisko (stred zotrvačnosti) sústavy. Moment zotrvačnosti systému okolo osi.
8.4 Momenty zotrvačnosti okolo rovnobežných osí; Huygensova-Steinerova veta.
8.5 Tenzor a elipsoid zotrvačnosti. Hlavné osi zotrvačnosti. Vlastnosti osových momentov zotrvačnosti.
8.6 Výpočet momentu hybnosti a kinetickej energie telesa pomocou tenzora zotrvačnosti.

9. Základné teorémy dynamiky v inerciálnych a neinerciálnych vzťažných sústavách.
9.1 Veta o zmene hybnosti systému v inerciálnej vzťažnej sústave. Veta o pohybe ťažiska.
9.2 Veta o zmene momentu hybnosti sústavy v inerciálnej vzťažnej sústave.
9.3 Veta o zmene kinetickej energie sústavy v inerciálnej vzťažnej sústave.
9.4 Potenciálne, gyroskopické a disipatívne sily.
9.5 Základné teorémy dynamiky v neinerciálnych vzťažných sústavách.

10. Pohyb tuhého telesa s pevným bodom zotrvačnosťou.
10.1 Dynamické Eulerove rovnice.
10.2 Eulerov prípad, prvé integrály dynamických rovníc; trvalé rotácie.
10.3 Výklady Poinsota a McCullagha.
10.4 Pravidelná precesia v prípade dynamickej symetrie tela.

11. Pohyb ťažkého tuhého telesa s pevným bodom.
11.1 Všeobecná formulácia úlohy pohybu ťažkého tuhého telesa okolo.
pevný bod. Eulerove dynamické rovnice a ich prvé integrály.
11.2 Kvalitatívna analýza pohybu tuhého telesa v Lagrangeovom prípade.
11.3 Vynútená pravidelná precesia dynamicky symetrického tuhého telesa.
11.4 Základný vzorec gyroskopie.
11.5 Pojem elementárnej teórie gyroskopov.

12. Dynamika bodu v centrálnom poli.
12.1 Binetova rovnica.
12.2 Orbitálna rovnica. Keplerove zákony.
12.3 Problém s rozptylom.
12.4 Problém dvoch telies. Pohybové rovnice. Plošný integrál, energetický integrál, Laplaceov integrál.

13. Dynamika systémov premenlivého zloženia.
13.1 Základné pojmy a vety o zmenách základných dynamických veličín v systémoch premenlivého zloženia.
13.2 Pohyb hmotného bodu premenlivej hmotnosti.
13.3 Pohybové rovnice telesa premenlivého zloženia.

14. Teória impulzívnych pohybov.
14.1 Základné pojmy a axiómy teórie impulzívnych pohybov.
14.2 Vety o zmenách základných dynamických veličín pri impulzívnom pohybe.
14.3 Impulzívny pohyb tuhého telesa.
14.4 Zrážka dvoch tuhých telies.
14.5 Carnotove vety.

15. Test

Výsledky vzdelávania

V dôsledku zvládnutia disciplíny musí študent:

• Vedieť:
  • základné pojmy a vety z mechaniky az nich vyplývajúce metódy štúdia pohybu mechanických sústav;
• Byť schopný:
  • správne formulovať problémy z hľadiska teoretickej mechaniky;
  • rozvíjať mechanické a matematické modely, ktoré primerane odrážajú základné vlastnosti uvažovaných javov;
  • aplikovať získané poznatky na riešenie relevantných špecifických problémov;
• Vlastné:
  • zručnosti pri riešení klasických problémov teoretickej mechaniky a matematiky;
  • zručnosti v štúdiu problémov mechaniky a konštrukcii mechanických a matematických modelov, ktoré primerane opisujú rôzne mechanické javy;
  • zručnosti praktické využitie metódy a princípy teoretickej mechaniky pri riešení úloh: silové výpočty, určovanie kinematických charakteristík telies kedy rôznymi spôsobmiúlohy pohybu, určovanie zákona o pohybe hmotných telies a mechanických sústav pod vplyvom síl;
  • získať zručnosti samostatne nové informácie v procese výroby a vedecká činnosť využívanie moderných vzdelávacích a informačných technológií;

V rámci akéhokoľvek výcvikový kurzŠtúdium fyziky začína mechanikou. Nie z teoretickej, nie z aplikovanej alebo výpočtovej, ale zo starej dobrej klasickej mechaniky. Táto mechanika sa nazýva aj newtonovská mechanika. Podľa legendy sa vedec prechádzal po záhrade a videl padať jablko a práve tento jav ho podnietil objaviť zákon univerzálnej gravitácie. Samozrejme, zákon vždy existoval a Newton mu dal len formu zrozumiteľnú pre ľudí, no jeho zásluha je na nezaplatenie. V tomto článku nebudeme čo najpodrobnejšie popisovať zákony newtonovskej mechaniky, ale načrtneme základy, základné poznatky, definície a vzorce, ktoré vám vždy môžu hrať do karát.

Mechanika je odvetvie fyziky, veda, ktorá študuje pohyb hmotných telies a interakcie medzi nimi.

Samotné slovo má grécky pôvod a prekladá sa ako „umenie stavať stroje“. Kým však postavíme stroje, stále sme ako Mesiac, vydajme sa teda po stopách našich predkov a študujme pohyb kameňov vrhaných pod uhlom k horizontu a padajúcich jabĺk na hlavu z výšky h.

Prečo sa štúdium fyziky začína mechanikou? Pretože je to úplne prirodzené, nemali by sme začať s termodynamickou rovnováhou?!

Mechanika je jednou z najstarších vied a historicky sa štúdium fyziky začalo presne so základmi mechaniky. Ľudia umiestnení v rámci času a priestoru v skutočnosti nemohli začať s niečím iným, bez ohľadu na to, ako veľmi chceli. Pohybujúce sa telá sú to prvé, čomu venujeme pozornosť.

čo je pohyb?

Mechanický pohyb je zmena polohy telies v priestore voči sebe v priebehu času.

Po tejto definícii sa celkom prirodzene dostávame k pojmu referenčný rámec. Zmena polohy telies v priestore voči sebe navzájom. Kľúčové slová Tu: voči sebe navzájom . Koniec koncov, cestujúci v aute sa pohybuje vo vzťahu k osobe stojacej na kraji cesty určitou rýchlosťou a je v pokoji vzhľadom na svojho suseda na sedadle vedľa neho a pohybuje sa inou rýchlosťou vo vzťahu k cestujúcemu. v aute, ktoré ich predbieha.

To je dôvod, prečo, aby sme normálne zmerali parametre pohybujúcich sa objektov a nezamieňali sa, potrebujeme referenčný systém - pevne prepojené referenčné teleso, súradnicový systém a hodiny. Napríklad Zem sa pohybuje okolo Slnka v heliocentrickej referenčnej sústave. V každodennom živote vykonávame takmer všetky merania v geocentrickom referenčnom systéme spojenom so Zemou. Zem je referenčné teleso, voči ktorému sa pohybujú autá, lietadlá, ľudia a zvieratá.

Mechanika ako veda má svoju vlastnú úlohu. Úlohou mechaniky je kedykoľvek poznať polohu telesa v priestore. Inými slovami, mechanika vytvára matematický popis pohybu a nachádza medzi nimi súvislosti fyzikálnych veličín, ktoré ho charakterizujú.

Aby sme sa mohli posunúť ďalej, potrebujeme koncept „ hmotný bod " Hovorí sa, že fyzika je presná veda, ale fyzici vedia, koľko aproximácií a predpokladov je potrebné urobiť, aby sa zhodli práve na tejto presnosti. Nikto nikdy nevidel hmotný bod ani necítil ideálny plyn, ale existujú! Jednoducho sa s nimi žije oveľa ľahšie.

Hmotný bod je teleso, ktorého veľkosť a tvar možno v kontexte tohto problému zanedbať.

Sekcie klasickej mechaniky

Mechanika pozostáva z niekoľkých sekcií

• Kinematika
• Dynamika
• Statika

Kinematika z fyzického hľadiska presne študuje, ako sa telo pohybuje. Inými slovami, táto časť sa zaoberá kvantitatívne charakteristiky pohyby. Nájdite rýchlosť, cestu - typické kinematické problémy

Dynamika rieši otázku, prečo sa pohybuje tak, ako sa pohybuje. To znamená, že berie do úvahy sily pôsobiace na telo.

Statikaštuduje rovnováhu telies pod vplyvom síl, to znamená, odpovedá na otázku: prečo vôbec nepadá?

Hranice použiteľnosti klasickej mechaniky

Klasická mechanika už netvrdí, že je vedou, ktorá všetko vysvetľuje (na začiatku minulého storočia bolo všetko úplne inak), a má jasný rámec použiteľnosti. Vo všeobecnosti platia zákony klasickej mechaniky vo svete, na ktorý sme veľkosťou zvyknutí (makrosvet). Prestávajú fungovať v prípade časticového sveta, keď kvantová mechanika nahrádza klasickú mechaniku. Taktiež klasická mechanika nie je použiteľná v prípadoch, keď k pohybu telies dochádza rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla. V takýchto prípadoch sa prejavujú relativistické efekty. Zhruba povedané, v rámci kvantovej a relativistickej mechaniky – klasickej mechaniky ide o špeciálny prípad, keď sú rozmery telesa veľké a rýchlosť malá.

Všeobecne povedané, kvantové a relativistické efekty nikdy nezmiznú, vyskytujú sa aj pri bežnom pohybe makroskopických telies rýchlosťou oveľa nižšou ako je rýchlosť svetla. Ďalšia vec je, že účinok týchto účinkov je taký malý, že nepresahuje najpresnejšie merania. Klasická mechanika tak nikdy nestratí svoj základný význam.

Budeme pokračovať v štúdiu fyzické základy mechanika v nasledujúce články. Pre lepšie pochopenie mechaniky sa vždy môžete odvolať našim autorom, ktorý bude jednotlivo osvetľovať tmavá škvrna najťažšia úloha.

Obsah

Kinematika

Kinematika hmotného bodu

Určenie rýchlosti a zrýchlenia bodu pomocou dané rovnice jej pohyby

Dané: Pohybové rovnice bodu: x = 12 sin (πt/6), cm; y = 6 cos 2 (πt/6), cm.

Nastavte typ jeho trajektórie pre časový okamih t = 1 s nájsť polohu bodu na trajektórii, jeho rýchlosť, celkové, tangenciálne a normálové zrýchlenie, ako aj polomer zakrivenia trajektórie.

Translačný a rotačný pohyb tuhého telesa

Vzhľadom na to:
t = 2 s; r1 = 2 cm, R1 = 4 cm; r2 = 6 cm, R2 = 8 cm; r3 = 12 cm, R3 = 16 cm; s5 = t3 - 6t (cm).

Určte v čase t = 2 rýchlosti bodov A, C; uhlové zrýchlenie kolesa 3; zrýchlenie bodu B a zrýchlenie hrebeňa 4.

Kinematická analýza plochého mechanizmu

Vzhľadom na to:
R1, R2, L, AB, co1.
Nájdite: ω 2.

Plochý mechanizmus pozostáva z tyčí 1, 2, 3, 4 a posúvača E. Tyče sú spojené pomocou cylindrických pántov. Bod D sa nachádza v strede tyče AB.
Dané: ω 1, ε 1.
Nájdite: rýchlosti V A, V B, V D a V E; uhlové rýchlosti ω 2, ω 3 a ω 4; zrýchlenie a B ; uhlové zrýchlenie ε AB spojnice AB; polohy stredov okamžitej rýchlosti P2 a P3 článkov 2 a 3 mechanizmu.

Určenie absolútnej rýchlosti a absolútneho zrýchlenia bodu

Obdĺžniková doska sa otáča okolo pevnej osi podľa zákona φ = 6 t 2 - 3 t 3. Kladný smer uhla φ je na obrázkoch znázornený oblúkovou šípkou. Os otáčania OO 1 leží v rovine platne (doska sa otáča v priestore).

Bod M sa pohybuje pozdĺž dosky pozdĺž priamky BD. Je daný zákon jeho relatívneho pohybu, teda závislosť s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - v centimetroch, t - v sekundách). Vzdialenosť b = 20 cm. Na obrázku je bod M zobrazený v polohe, kde s = AM > 0 (na s< 0 bod M je na druhej strane bodu A).

Nájdite absolútnu rýchlosť a absolútne zrýchlenie bodu M v čase t 1 = 1 s.

Dynamika

Integrácia diferenciálnych rovníc pohybu hmotného bodu pod vplyvom premenných síl

Zaťaženie D s hmotnosťou m, ktoré dostalo počiatočnú rýchlosť V0 v bode A, sa pohybuje v zakrivenom potrubí ABC umiestnenom vo vertikálnej rovine. V úseku AB, ktorého dĺžka je l, pôsobí na zaťaženie o konštantná sila T (jeho smer je znázornený na obrázku) a sila R odporu média (modul tejto sily R = μV 2, vektor R smeruje opačne k rýchlosti V zaťaženia).

Po ukončení pohybu v úseku AB v bode B potrubia sa náklad bez zmeny hodnoty jeho rýchlostného modulu presunie do úseku BC. V reze BC na zaťaženie pôsobí premenlivá sila F, ktorej priemet F x na os x je daný.

Vzhľadom na to, že zaťaženie považujeme za hmotný bod, nájdite zákon jeho pohybu v reze BC, t.j. x = f(t), kde x = BD. Zanedbajte trenie zaťaženia na potrubí.

Stiahnite si riešenie problému

Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému

Mechanický systém pozostáva zo závažia 1 a 2, valcového valca 3, dvojstupňových kladiek 4 a 5. Telesá systému sú spojené závitmi navinutými na kladkách; úseky závitov sú rovnobežné s príslušnými rovinami. Valec (pevný homogénny valec) sa valí po nosnej rovine bez kĺzania. Polomery stupňov kladiek 4 a 5 sú v tomto poradí rovné R4 = 0,3 m, r4 = 0,1 m, R5 = 0,2 m, r5 = 0,1 m sa považuje za rovnomerne rozložené pozdĺž jeho vonkajší okraj. Nosné roviny zaťažení 1 a 2 sú hrubé, koeficient klzného trenia pre každé zaťaženie je f = 0,1.

Pôsobením sily F, ktorej modul sa mení podľa zákona F = F(s), kde s je posunutie bodu jej pôsobenia, sa sústava začína pohybovať z pokojového stavu. Keď sa systém pohybuje, na kladku 5 pôsobia odporové sily, ktorých moment vzhľadom na os otáčania je konštantný a rovný M5.

Určte hodnotu uhlovej rýchlosti kladky 4 v čase, keď sa posunutie s bodu pôsobenia sily F rovná s 1 = 1,2 m.

Stiahnite si riešenie problému

Aplikácia všeobecnej rovnice dynamiky na štúdium pohybu mechanického systému

Pre mechanický systém určite lineárne zrýchlenie a 1 . Predpokladajme, že hmoty blokov a valčekov sú rozložené pozdĺž vonkajšieho polomeru. Káble a pásy by sa mali považovať za beztiažové a neroztiahnuteľné; nedochádza k šmyku. Zanedbajte valivé a posuvné trenie.

Stiahnite si riešenie problému

Aplikácia d'Alembertovho princípu na určenie reakcií podpier rotujúceho telesa

Vertikálny hriadeľ AK, ktorý sa rovnomerne otáča s uhlovou rýchlosťou ω = 10 s -1, je upevnený axiálnym ložiskom v bode A a valcovým ložiskom v bode D.

Na hriadeli je pevne pripevnená beztiažová tyč 1 s dĺžkou l 1 = 0,3 m, na ktorej voľnom konci je bremeno s hmotnosťou m 1 = 4 kg, a homogénna tyč 2 s dĺžkou l. 2 = 0,6 m, s hmotnosťou m2 = 8 kg. Obe tyče ležia v rovnakej vertikálnej rovine. Body pripevnenia tyčí k hriadeľu, ako aj uhly α a β sú uvedené v tabuľke. Rozmery AB=BD=DE=EK=b, kde b = 0,4 m Berte zaťaženie ako bod materiálu.

Pri zanedbaní hmotnosti hriadeľa určite reakcie axiálneho ložiska a ložiska.

Návrat