Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.
Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.
Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.
Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť postavy, obmedzená čiarami pomocou výpočtov pomocou integrálov. Prvýkrát sa s formulovaním takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď sme práve ukončili štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.
Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:
- Schopnosť robiť kompetentné výkresy;
- Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
- Schopnosť „vidieť“ výnosnejšiu možnosť riešenia – t.j. pochopiť, ako v jednom alebo druhom prípade bude pohodlnejšie vykonať integráciu? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
- Kde by sme boli bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.
Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:
1. Staviame výkres. Je vhodné to urobiť na kockovanom papieri vo veľkom meradle. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Grafy sú podpísané len pre uľahčenie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.
2. Ak nie sú explicitne špecifikované limity integrácie, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.
3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií usporiadané, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Uvažujme rôzne príklady o nájdení plochy obrazca pomocou integrálov.
3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), priamkami x = a, x = b a ľubovoľnou krivkou súvislou v intervale od a po b. Navyše tento údaj nie je záporný a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu, vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:
Príklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Akými čiarami je obrazec ohraničený? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OX, je nezáporná, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej sú uvedené priamky x = 1 a x = 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou operačného zosilňovača a sú hraničnými čiarami obrázku vľavo a vpravo. No, y = 0, čo je tiež os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je možné vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý potom vyriešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sme skúmali prípad, keď sa nad osou x nachádza zakrivený lichobežník. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime nižšie.
Príklad 2. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tomto príklade máme parabolu y = x2 + 6x + 2, ktorá vychádza pod osou OX, priamky x = -4, x = -1, y = 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamky x = -4 a x = -1 sú hranice, v rámci ktorých sa vypočíta určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia plochy obrazca sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1]. Čo tým myslíš nie pozitívne? Ako vidno z obrázku, obrazec, ktorý leží v rámci daného x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť obrázku pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.
Článok nie je dokončený.
V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrazca, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže je oveľa viac aktuálny problém budú vaše vedomosti a zručnosti v kreslení. V tomto smere je užitočné osviežiť si pamäť grafov základných elementárnych funkcií a minimálne vedieť zostrojiť priamku a hyperbolu.
Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, rovnými čiarami a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menej os x:
Potom sa plocha krivočiareho lichobežníka číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam.
Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.
To znamená, že určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál. Integrand definuje krivku v rovine umiestnenej nad osou (tí, ktorí si to želajú, môžu kresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.
Príklad 1
Toto je typický príkaz na zadanie. Najprv a najdôležitejší moment riešenia - konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres skonštruovaný SPRÁVNE.
Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky priame čiary (ak existujú) a až potom - paraboly, hyperboly a grafy iných funkcií. Výhodnejšie je zostaviť grafy funkcií bod po bode.
V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslíme výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):
Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:
odpoveď:
Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ počítame počet buniek na výkrese - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom je zrejmé, že niekde sa stala chyba - 20 buniek sa jednoznačne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Príklad 3
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.
Riešenie: Urobme kresbu:
Ak je zakrivený lichobežník umiestnený pod osou (alebo aspoň nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť pomocou vzorca:
V tomto prípade:
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 4
Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami , .
Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:
To znamená, že dolná hranica integrácie je , horná hranica integrácie je .
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.
Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie stavať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime takýto príklad.
Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:
A teraz pracovný vzorec: Ak je na segmente nejaká spojitá funkcia väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii, potom plocha obrázku, obmedzená harmonogramom dané funkcie a priame čiary , možno nájsť pomocou vzorca: 
Tu už nemusíte myslieť na to, kde sa obrazec nachádza – nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, je dôležité, ktorý graf je VYŠŠIE (vo vzťahu k inému grafu) a ktorý POD.
V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od
Hotové riešenie môže vyzerať takto:
Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď:
Príklad 4
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .
Riešenie: Najprv urobme kresbu:
Figúrka, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou (pozrite sa pozorne na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!
Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov.
naozaj :
1) Na segmente nad osou je graf priamky;
2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.
Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:
IN predchádzajúca časť venovaný analýze geometrického významu určitého integrálu, dostali sme niekoľko vzorcov na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y = f (x) na intervale [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nekladnú funkciu y = f (x) na intervale [ a ; b].
Tieto vzorce sú použiteľné na riešenie relatívne jednoduchých problémov. V skutočnosti budeme musieť často pracovať so zložitejšími obrazcami. V tejto súvislosti budeme túto časť venovať analýze algoritmov na výpočet plochy obrazcov, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y = f(x) alebo x = g(y).
VetaNech sú funkcie y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definované a spojité na intervale [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pre akúkoľvek hodnotu x z [ a ; b]. Potom bude vzorec na výpočet plochy obrázku G ohraničený priamkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) vyzerať ako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Podobný vzorec bude platiť pre oblasť obrazca ohraničenú priamkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dôkaz
Pozrime sa na tri prípady, pre ktoré bude vzorec platiť.
V prvom prípade, berúc do úvahy vlastnosť aditivity plochy, sa súčet plôch pôvodného obrázku G a krivočiareho lichobežníka G 1 rovná ploche obrázku G 2. Znamená to, že
Preto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posledný prechod môžeme vykonať pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.
V druhom prípade platí rovnosť: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Ak sú obe funkcie kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Prejdime k všeobecnému prípadu, keď y = f 1 (x) a y = f 2 (x) pretínajú os O x.
Priesečníky označíme ako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tieto body rozdeľujú segment [a; b] na n častí x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
teda
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posledný prechod môžeme urobiť pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.
Znázornime všeobecný prípad na grafe.
Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.
Teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy obrázkov, ktoré sú obmedzené priamkami y = f (x) a x = g (y).
Uvažovanie o ktoromkoľvek z príkladov začneme zostrojením grafu. Obrázok nám umožní reprezentovať zložité postavy ako spojenie viacerých jednoduché figúrky. Ak je pre vás zostavovanie grafov a obrázkov na nich náročné, môžete si pri štúdiu funkcie naštudovať časť o základných elementárnych funkciách, geometrickej transformácii grafov funkcií, ako aj o zostavovaní grafov.
Príklad 1
Je potrebné určiť plochu obrázku, ktorá je obmedzená parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Riešenie
Nakreslíme čiary na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme.
Na segmente [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 sa nachádza nad priamkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohľade na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu výpočtu určitého integrálu pomocou vzorca Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odpoveď: S(G) = 13
Pozrime sa na zložitejší príklad.
Príklad 2
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x + 2, y = x, x = 7.
Riešenie
V tomto prípade máme len jednu priamku umiestnenú rovnobežne s osou x. Toto je x = 7. To si vyžaduje, aby sme sami našli druhú hranicu integrácie.
Zostavme graf a nakreslite naň čiary uvedené v probléme.
Keď máme graf pred očami, môžeme ľahko určiť, že dolná hranica integrácie bude úsečka priesečníka grafu priamky y = x a semiparaboly y = x + 2. Na nájdenie abscisy používame rovnosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ukazuje sa, že úsečka priesečníka je x = 2.
Upozorňujeme na skutočnosť, že v všeobecný príklad na výkrese sa priamky y = x + 2, y = x pretínajú v bode (2; 2), takže takéto podrobné výpočty sa môžu zdať zbytočné. Takéto podrobné riešenie sme tu uviedli len preto, že vo viac ťažké prípady riešenie nemusí byť také jednoznačné. To znamená, že súradnice priesečníka čiar je lepšie vždy vypočítať analyticky.
Na intervale [ 2 ; 7] graf funkcie y = x sa nachádza nad grafom funkcie y = x + 2. Použime vzorec na výpočet plochy:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odpoveď: S (G) = 59 6
Príklad 3
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená grafmi funkcií y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Nakreslíme čiary do grafu.
Definujme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok porovnaním výrazov 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za predpokladu, že x nie je nula, rovnosť 1 x = - x 2 + 4 x - 2 sa stáva ekvivalentnou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficientmi. Ak si chcete osviežiť pamäť na algoritmus na riešenie takýchto rovníc, môžeme si pozrieť časť „Riešenie kubických rovníc“.
Koreň tejto rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Vydelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dvojčlenkou x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v ktorom je číslica G obsiahnutá nad modrou a pod červenou čiarou. To nám pomáha určiť oblasť obrázku:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odpoveď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Príklad 4
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená krivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou x.
Riešenie
Nakreslite všetky čiary do grafu. Graf funkcie y = - log 2 x + 1 dostaneme z grafu y = log 2 x, ak ho umiestnime symetricky okolo osi x a posunieme ho o jednotku nahor. Rovnica osi x je y = 0.
Označme priesečníky čiar.
Ako vidno z obrázku, grafy funkcií y = x 3 a y = 0 sa pretínajú v bode (0; 0). Je to preto, lebo x = 0 je jediným skutočným koreňom rovnice x 3 = 0.
x = 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 = 0, teda grafy funkcií y = - log 2 x + 1 a y = 0 sa pretínajú v bode (2; 0).
x = 1 je jediný koreň rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto smere sa grafy funkcií y = x 3 a y = - log 2 x + 1 pretínajú v bode (1; 1). Posledné tvrdenie nemusí byť zrejmé, ale rovnica x 3 = - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y = x 3 je striktne rastúca a funkcia y = - log 2 x + 1 je prísne klesá.
Ďalšie riešenie zahŕňa niekoľko možností.
Možnosť 1
Obrázok G si môžeme predstaviť ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý sa nachádza pod stredovou čiarou na úsečke x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha sa bude rovnať S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Možnosť č.2
Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch obrázkov, z ktorých prvý je umiestnený nad osou x a pod modrou čiarou na segmente x ∈ 0; 2 a druhý medzi červenou a modrou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť takto:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tomto prípade na nájdenie oblasti budete musieť použiť vzorec v tvare S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. V skutočnosti môžu byť čiary, ktoré ohraničujú obrazec, reprezentované ako funkcie argumentu y.
Vyriešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhľadom na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Získame požadovanú oblasť:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odpoveď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Príklad 5
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Riešenie
Nakreslíme čiaru na graf s červenou čiarou, daný funkciou y = x. Čiaru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modrou a čiaru y = 2 3 x - 3 čiernou farbou.
Označme priesečníky.
Nájdite priesečníky grafov funkcií y = x a y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Skontrolujte: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Je riešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je riešením rovnice ⇒ (4; 2) priesečník i y = x a y = - 1 2 x + 4
Nájdite priesečník grafov funkcií y = x a y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je riešením rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnica nemá riešenie
Nájdite priesečník priamok y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) priesečník y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3
Metóda č.1
Predstavme si plochu požadovaného obrazca ako súčet plôch jednotlivých obrazcov.
Potom je plocha obrázku:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metóda č.2
Plochu pôvodnej figúry možno znázorniť ako súčet dvoch ďalších figúrok.
Potom vyriešime rovnicu čiary vzhľadom na x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.
y = x ⇒ x = y 2 červená čiara y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 čierna čiara y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Oblasť je teda:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 r + 9 2 - r 2 r = = 7 4 r. 2 - 7 4 r. 1 2 + - r. 3 3 + 3 r. 2 4 + 9 2 r. 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Ako vidíte, hodnoty sú rovnaké.
Odpoveď: S (G) = 11 3
VýsledkyAk chcete nájsť oblasť postavy, ktorá je obmedzená dané riadky musíme zostrojiť čiary v rovine, nájsť ich priesečníky a použiť vzorec na nájdenie oblasti. V tejto časti sme preskúmali najbežnejšie varianty úloh.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Problém 1 (o výpočte plochy zakriveného lichobežníka).
V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je daný údaj (pozri obrázok) ohraničený osou x, priamkami x = a, x = b (a krivočiarym lichobežníkom. Je potrebné vypočítať plochu krivočiary lichobežník.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah môžeme nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom uvažujme takto.
Rozdeľme segment [a; b] (základ zakriveného lichobežníka) na n rovnakými dielmi; toto rozdelenie sa vykonáva pomocou bodov x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nakreslite priame čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.
Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. zakrivený lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnou f(x k) (pozri obrázok). Plocha obdĺžnika sa rovná \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kde \(\Delta x_k \) je dĺžka segmentu; Je prirodzené považovať výsledný produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca. 
Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledujúcemu výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \bodky + f(x_k)\Delta x_k + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tu z dôvodu jednotnosti zápisu predpokladáme, že a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dĺžka segmentu, \(\Delta x_1 \) - dĺžka segmentu atď.; v tomto prípade, ako sme sa dohodli vyššie, \(\Delta x_0 = \bodky = \Delta x_(n-1) \)
Takže, \(S \približne S_n \), a táto približná rovnosť je presnejšia, čím väčšie n.
Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problém 2 (o pohybe bodu)
Hmotný bod sa pohybuje po priamke. Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v(t). Nájdite pohyb bodu za určité časové obdobie [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa problém vyriešil veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v(b-a). Pri nerovnomernom pohybe musíte použiť rovnaké nápady, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový úsek a predpokladajme, že počas tohto časového úseku bola rýchlosť konštantná, rovnaká ako v čase t k. Takže predpokladáme, že v = v(t k).
3) Nájdite približnú hodnotu pohybu bodu za určité časové obdobie, túto približnú hodnotu označíme ako s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
\(s \približne S_n \) kde
\(S_n = s_0 + \bodky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \bodky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Požadované posunutie sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôzne úlohy zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. To znamená, že tento matematický model musí byť špeciálne študovaný.
Pojem určitého integráluUveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostavený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f(x), spojitý (ale nie nevyhnutne nezáporný, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na intervale [a; b]:
1) rozdeliť segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) vytvorte súčet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
V priebehu matematickej analýzy bolo dokázané, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Nazýva sa to určitý integrál funkcie y = f(x) nad segmentom [a; b] a označujú sa takto:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (dolné a horné).
Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v úlohe 1 môže byť teraz prepísaná takto:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tu S je oblasť krivočiareho lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. Toto je geometrický význam určitého integrálu.
Definíciu posunu s bodu, ktorý sa pohybuje v priamom smere rýchlosťou v = v(t) v časovom období od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:
Najprv si odpovedzme na otázku: aká je súvislosť medzi určitým integrálom a primitívnou deriváciou?
Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu, ktorý sa pohybuje priamočiaro rýchlosťou v = v(t) za časové obdobie od t = a do t = b, sa vypočíta ako vzorec
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívom pre rýchlosť - označme ju s(t); To znamená, že posunutie s je vyjadrené vzorcom s = s(b) - s(a). V dôsledku toho dostaneme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kde s(t) je primitívna derivácia v(t).
Nasledujúca veta bola dokázaná v priebehu matematickej analýzy.
Veta. Ak je funkcia y = f(x) spojitá na intervale [a; b], potom platí vzorec
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kde F(x) je primitívna derivácia f(x).
Vyššie uvedený vzorec sa zvyčajne nazýva Newton-Leibniz vzorec na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho získali nezávisle od seba a takmer súčasne.
V praxi namiesto písania F(b) - F(a) používajú zápis \(\left. F(x)\right|_a^b \) (niekedy nazývaný dvojitá substitúcia) a podľa toho prepisujú Newton -Leibnizov vzorec v tomto tvare:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vľavo. F(x)\vpravo|_a^b \)
Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.
Na základe Newtonovho-Leibnizovho vzorca môžeme získať dve vlastnosti určitého integrálu.
Vlastnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Vlastnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka integrálu:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Pomocou integrálu môžete vypočítať plochy nielen krivočiarych lichobežníkov, ale aj plochých útvarov komplexný typ, napríklad ten, ktorý je znázornený na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f(x), y = g(x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \). Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Plocha S obrazca ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f(x), y = g(x), súvislá na úsečke a taká, že pre ľubovoľné x z úsečky [a; b] je splnená nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \), vypočítaná podľa vzorca
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)