Táto lekcia je určená pre samoštúdium témy " Dihedrálny uhol" V tejto lekcii sa študenti zoznámia s jedným z najdôležitejších geometrických tvarov, s uhlom klinu. V lekcii sa tiež naučíme, ako určiť lineárny uhol uvažovaného geometrický obrazec a aký je dihedrálny uhol pri základni obrázku.
Zopakujme si, čo je uhol na rovine a ako sa meria.
Ryža. 1. Lietadlo
Uvažujme rovinu α (obr. 1). Od veci O vyžarujú dva lúče - OB A OA.
Definícia. Obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu sa nazýva uhol.
Uhol sa meria v stupňoch a radiánoch.
Pripomeňme si, čo je radián.
Ryža. 2. Radian
Ak máme stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru, potom sa takýto stredový uhol nazýva uhol 1 radián. ,∠ AOB= 1 rad (obr. 2).
Vzťah medzi radiánmi a stupňami.
rád.
Chápeme, som rád. (). potom 
Definícia. Dihedrálny uhol obrazec tvorený priamkou sa nazýva A a dve polroviny so spoločnou hranicou A, ktoré nepatria do tej istej roviny.
Ryža. 3. Polroviny
Uvažujme dve polroviny α a β (obr. 3). Ich spoločná hranica je A. Tento údaj sa nazýva dihedrálny uhol.
Terminológia
Polroviny α a β sú steny dvojstenného uhla.
Rovno A je hrana dihedrálneho uhla.
Na spoločnom okraji A dihedrálny uhol, vyberte ľubovoľný bod O(obr. 4). V polrovine α od bodu O obnoviť kolmicu OA na priamku A. Z toho istého bodu O v druhej polrovine β zostrojíme kolmicu OB na okraj A. Mám uhol AOB, ktorý sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla.
Ryža. 4. Meranie dihedrálneho uhla
Dokážme rovnosť všetkých lineárnych uhlov pre daný dihedrálny uhol.
Majme dihedrálny uhol (obr. 5). Vyberme si bod O a bodka O 1 na priamke A. Zostrojme lineárny uhol zodpovedajúci bodu O, teda nakreslíme dve kolmice OA A OB v rovinách α a β k hrane A. Získame uhol AOB- lineárny uhol dihedrálneho uhla.
Ryža. 5. Ilustrácia dôkazu
Od veci O 1 nakreslíme dve kolmice OA 1 A OB 1 na okraj A v rovinách α a β a získame druhý lineárny uhol A101B1.
Lúče O 1 A 1 A OA kosmerné, pretože ležia v rovnakej polrovine a sú navzájom rovnobežné ako dve kolmice na tú istú priamku A.
Rovnako aj lúče Približne 1 v 1 A OB sú v spoločnej réžii, čo znamená ∠ AOB =∠ A101B1 ako uhly s kodirectnými stranami, čo bolo potrebné dokázať.
Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu dihedrálneho uhla.
dokázať: A ⊥ AOB.
Ryža. 6. Ilustrácia dôkazu
Dôkaz:
OA ⊥ A podľa konštrukcie, OB ⊥ A konštrukciou (obr. 6).
Zistili sme, že riadok A kolmo na dve pretínajúce sa čiary OA A OB mimo lietadla AOB, čo znamená, že je rovný A kolmo na rovinu OAV, čo bolo potrebné dokázať.
Dihedrálny uhol sa meria jeho lineárnym uhlom. To znamená, že toľko stupňov radiánov je obsiahnutých v lineárnom uhle, rovnaký počet stupňov radiánov je obsiahnutých v jeho dihedrálnom uhle. V súlade s tým sa rozlišujú nasledujúce typy dihedrálnych uhlov.
Akútne (obr. 6)
Dihedrálny uhol je ostrý, ak je jeho lineárny uhol ostrý, t.j. .
Rovné (obr. 7)
Dihedrálny uhol je pravý, keď je jeho lineárny uhol 90° - tupý (obr. 8)
Dihedrálny uhol je tupý, keď je jeho lineárny uhol tupý, t.j. 
.
Ryža. 7. Pravý uhol
Ryža. 8. Tupý uhol
Príklady konštrukcie lineárnych uhlov v reálnych obrazcoch
ABCD- štvorsten.
1. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AB.
Ryža. 9. Ilustrácia problému
Stavebníctvo:
Hovoríme o dihedrálnom uhle, ktorý tvorí hrana AB a hrany ABD A ABC(obr. 9).
Urobme direkt DN kolmo na rovinu ABC, N- základňa kolmice. Nakreslíme naklonenú DM kolmo na priamku AB,M- naklonená základňa. Podľa vety o troch kolmiciach usudzujeme, že premietanie šikmej NM aj kolmo na čiaru AB.
Teda od pointy M boli obnovené dve kolmice na okraj AB na dvoch stranách ABD A ABC. Dostali sme lineárny uhol DMN.
Všimni si AB, hrana dihedrálneho uhla, kolmá na rovinu lineárneho uhla, t.j. rovinu DMN. Problém je vyriešený.
Komentujte. Dihedrálny uhol možno označiť takto: DABC, Kde
AB- okraj a hroty D A S ležať na rôznych stranách uhla.
2. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AC.
Nakreslíme kolmicu DN do lietadla ABC a naklonený DN kolmo na priamku AC. Podľa vety o troch kolmiciach to zistíme НN- šikmé premietanie DN do lietadla ABC, aj kolmo na čiaru AC.DNH- lineárny uhol dihedrálneho uhla s okrajom AC.
V štvorstene DABC všetky okraje sú rovnaké. Bodka M- stred rebra AC. Dokážte, že uhol DMV- lineárny dihedrálny uhol VYD t.j. uhol dvojsteny s okrajom AC. Jedna z jeho tvárí je ACD, druhý - DIA(obr. 10).
Ryža. 10. Ilustrácia problému
Riešenie:
Trojuholník ADC- rovnostranný, DM- medián, a teda výška. znamená, DM ⊥ AC. Rovnako aj trojuholník AINC- rovnostranný, INM- medián, a teda výška. znamená, VM ⊥ AC.
Teda z pointy M rebrá AC dihedrálny uhol obnovený dve kolmice DM A VM k tejto hrane v čelách dihedrálneho uhla.
Takže, ∠ DMIN je lineárny uhol dihedrálneho uhla, čo je potrebné dokázať.
Takže sme definovali uhol klinu, lineárny uhol dihedrálneho uhla.
V ďalšej lekcii sa pozrieme na kolmosť čiar a rovín, potom sa dozvieme, aký je uhol vodorovnej čiary v základni obrazcov.
Zoznam odkazov na tému "Dihedrálny uhol", "Dihedrálny uhol na základni geometrických útvarov"
- Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre všeobecné vzdelávanie vzdelávacie inštitúcie/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chorý.
- Geometria. 10. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s prehlbovacím a špecializačným štúdiom matematiky /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chor.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Domáca úloha na tému "Kydrálny uhol", určenie dihedrálneho uhla na základni obrazcov
Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (základný a špecializovaný stupeň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a rozšírené - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Úlohy 2, 3 s.
Čo je lineárny dihedrálny uhol? Ako ho postaviť?
ABCD- štvorsten. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou:
A) IND b) DS.
ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla A 1 ABC s rebrom AB. Určte jeho mieru miery.
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
DIHEDRAL ANGLE Učiteľ matematiky GOU stredná škola č.10 Eremenko M.A.
Hlavné ciele lekcie: Predstaviť pojem dihedrálneho uhla a jeho lineárneho uhla Zvážte úlohy na aplikáciu týchto pojmov.
Definícia: Dihedrálny uhol je útvar tvorený dvoma polrovinami so spoločnou hraničnou priamkou.
Veľkosť dihedrálneho uhla je veľkosť jeho lineárneho uhla. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - lineárny dihedrálny uhol ACD B
Dokážme, že všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné. Uvažujme dva lineárne uhly AOB a A 1 OB 1. Lúče OA a OA 1 ležia na rovnakej ploche a sú kolmé na OO 1, takže sú kosmerné. Nosníky OB a OB 1 sú tiež v spoločnej réžii. Preto ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (ako uhly so spolu nasmerovanými stranami).
Príklady dihedrálnych uhlov:
Definícia: Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú tieto roviny.
Úloha 1: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ABC a CDD 1. Odpoveď: 90 o.
Úloha 2: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ABC a CDA 1. Odpoveď: 45 o.
Úloha 3: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ABC a BDD 1. Odpoveď: 90 o.
Úloha 4: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ACC 1 a BDD 1. Odpoveď: 90 o.
Úloha 5: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami BC 1 D a BA 1 D. Riešenie: Nech O je stred B D. A 1 OC 1 – lineárny uhol dihedrálneho uhla A 1 B D C 1.
Úloha 6: V štvorstene DABC sú všetky hrany rovnaké, bod M je stredom hrany AC. Dokážte, že ∠ DMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla BACD.
Riešenie: Trojuholníky ABC a ADC sú pravidelné, preto BM ⊥ AC a DM ⊥ AC a teda ∠ DMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla DACB.
Úloha 7: Z vrcholu B trojuholníka ABC, ktorého strana AC leží v rovine α, je na túto rovinu nakreslená kolmica BB 1 . Nájdite vzdialenosť od bodu B k priamke AC a k rovine α, ak AB=2, ∠ВАС=150 0 a uhol klinu ВАСВ 1 je rovný 45 0.
Riešenie: ABC je tupý trojuholník s tupým uhlom A, preto základňa výšky BC leží na predĺžení strany AC. VC – vzdialenosť od bodu B k AC. BB 1 – vzdialenosť od bodu B k rovine α
2) Keďže AC ⊥BK, tak AC⊥KB 1 (podľa vety inverznej k vete o troch kolmiciach). Preto ∠VKV 1 je lineárny uhol dihedrálneho uhla BASV 1 a ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
KAPITOLA JE ROVNA A LIETADLA
V. DIHEDRÁLNE UHLY, PRAVÝ UHOL S ROVINOU,
UHOL DVOCH KRIŽOVANIA PRAVÝCH ROVNICE, LYHEDÁLNE UHLY
Dihedrálne uhly
38. Definície.Časť roviny ležiaca na jednej strane ľubovoľnej priamky ležiacej v tejto rovine sa nazýva polorovina. Obrazec tvorený dvoma polrovinami (P a Q, obr. 26) vychádzajúcich z jednej priamky (AB) sa nazýva tzv. dihedrálny uhol. Priame AB sa nazýva hrana a polroviny P a Q - strany alebo hrany dihedrálny uhol.
Takýto uhol je zvyčajne označený dvoma písmenami umiestnenými na jeho okraji (dihedrálny uhol AB). Ak je však na jednom okraji niekoľko uhlov klinu, potom je každý z nich označený štyrmi písmenami, z ktorých dva stredné sú na okraji a vonkajšie dva sú na stenách (napríklad uhol klinu SCDR) (obr. 27).
Ak sú z ľubovoľného bodu D nakreslené hrany AB (obr. 28) na každej ploche kolmo na hranu, potom uhol CDE, ktorý tvoria, sa nazýva lineárny uhol dihedrálny uhol.
Veľkosť lineárneho uhla nezávisí od polohy jeho vrcholu na hrane. Lineárne uhly CDE a C1D1E1 sú teda rovnaké, pretože ich strany sú rovnobežné a v rovnakom smere.
Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu, pretože obsahuje dve na ňu kolmé čiary. Preto na získanie lineárneho uhla stačí preťať čelo daného dihedrálneho uhla s rovinou kolmou na hranu a výsledný uhol zvážiť v tejto rovine.
39. Rovnosť a nerovnosť dihedrálnych uhlov. Dva dihedrálne uhly sa považujú za rovnaké, ak ich možno pri vložení kombinovať; v opačnom prípade, ktorýkoľvek uhol klinu sa považuje za menší, bude súčasťou druhého uhla.
Podobne ako uhly v planimetrii môžu byť aj dihedrálne uhly susedné, vertikálne atď.
Ak sú dva susedné dihedrálne uhly navzájom rovnaké, potom sa nazýva každý z nich pravý dihedrálny uhol.
Vety. 1) Rovnaké dihedrálne uhly zodpovedajú rovnakým lineárnym uhlom.
2) Väčší dihedrálny uhol zodpovedá väčšiemu lineárnemu uhlu.
Nech PABQ a P 1 A 1 B 1 Q 1 (obr. 29) sú dva dihedrálne uhly. Uhol A 1 B 1 vložíme do uhla AB tak, aby sa hrana A 1 B 1 zhodovala s hranou AB a plocha P 1 s plochou P.
Potom, ak sú tieto dihedrálne uhly rovnaké, potom sa plocha Q 1 zhoduje s plochou Q; ak je uhol A 1 B 1 menší ako uhol AB, potom plocha Q 1 zaujme určitú polohu vo vnútri uhlu vodorovnej dráhy, napríklad Q 2.
Keď si to všimneme, vezmeme nejaký bod B na spoločnú hranu a nakreslíme cez ňu rovinu R, kolmú na hranu. Z priesečníka tejto roviny s plochami dihedrálnych uhlov sa získajú lineárne uhly. Je jasné, že ak sa dihedrálne uhly zhodujú, potom budú mať rovnaký lineárny uhol CBD; ak sa uhly klinu nezhodujú, ak napríklad plocha Q 1 zaujme polohu Q 2, potom väčší uhol klinu bude mať väčší lineárny uhol (konkrétne: / CBD > / C 2 BD).
40. Konverzné vety. 1) Rovnaké lineárne uhly zodpovedajú rovnakým dihedrálnym uhlom.
2) Väčší lineárny uhol zodpovedá väčšiemu dihedrickému uhlu .
Tieto vety sa dajú ľahko dokázať protirečením.
41. Dôsledky. 1) Pravý dihedrálny uhol zodpovedá pravému lineárnemu uhlu a naopak.
Nech je (obr. 30) dihedrálny uhol PABQ rovný. To znamená, že sa rovná susednému uhlu QABP 1. Ale v tomto prípade sú lineárne uhly CDE a CDE 1 tiež rovnaké; a keďže susedia, každý z nich musí byť rovný. Naopak, ak sú susedné lineárne uhly CDE a CDE 1 rovnaké, potom sú susedné dihedrálne uhly rovnaké, t.j. každý z nich musí byť rovný.
2) Všetky pravé dihedrálne uhly sú rovnaké, pretože ich lineárne uhly sú rovnaké .
Podobne je ľahké dokázať, že:
3) Vertikálne dihedrálne uhly sú rovnaké.
4) Dihedral uhly s príslušne rovnobežnými a identicky (alebo opačne) orientovanými hranami sú rovnaké.
5) Ak zoberieme ako jednotku dihedrálnych uhlov uhol klinu, ktorý zodpovedá jednotke lineárnych uhlov, potom môžeme povedať, že uhol klinu sa meria jeho lineárnym uhlom.
Koncept dihedrálneho uhla
Aby sme predstavili pojem dihedrálneho uhla, pripomeňme si najprv jednu z axióm stereometrie.
Ľubovoľnú rovinu možno rozdeliť na dve polroviny priamky $a$ ležiacej v tejto rovine. V tomto prípade body ležiace v tej istej polrovine ležia na jednej strane priamky $a$ a body ležiace v rôznych polrovinách sú na tej istej strane. rôzne strany od priamky $a$ (obr. 1).
Obrázok 1.
Na tejto axióme je založený princíp konštrukcie dihedrálneho uhla.
Definícia 1
Postava sa volá dihedrálny uhol, ak sa skladá z priamky a dvoch polrovín tejto priamky, ktoré nepatria do tej istej roviny.
V tomto prípade sa nazývajú polroviny dihedrálneho uhla hrany, a priamka oddeľujúca polroviny je dihedrálny okraj(obr. 1).
Obrázok 2. Dihedrálny uhol
Miera stupňa dihedrálneho uhla
Definícia 2
Vyberme si ľubovoľný bod $A$ na hrane. Uhol medzi dvoma priamkami ležiacimi v rôznych polrovinách, kolmých na hranu a pretínajúcimi sa v bode $A$, sa nazýva lineárny dihedrálny uhol(obr. 3).
Obrázok 3.
Je zrejmé, že každý dihedrálny uhol má nekonečný počet lineárnych uhlov.
Veta 1
Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.
Dôkaz.
Uvažujme dva lineárne uhly $AOB$ a $A_1(OB)_1$ (obr. 4).
Obrázok 4.
Keďže lúče $OA$ a $(OA)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\alpha $ a sú kolmé na tú istú priamku, potom sú kosmerné. Keďže lúče $OB$ a $(OB)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\beta $ a sú kolmé na tú istú priamku, sú kosmerné. Preto
\[\uhol AOB=\uhol A_1(OB)_1\]
Vzhľadom na svojvoľnosť výberu lineárnych uhlov. Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.
Veta bola dokázaná.
Definícia 3
Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa lineárneho uhla dihedrálneho uhla.
Príklady problémov
Príklad 1
Dajme nám dve nekolmé roviny $\alpha $ a $\beta $, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky $m$. Bod $A$ patrí rovine $\beta$. $AB$ je kolmé na čiaru $m$. $AC$ je kolmý na rovinu $\alpha $ (bod $C$ patrí $\alpha $). Dokážte, že uhol $ABC$ je lineárnym uhlom dihedrálneho uhla.
Dôkaz.
Nakreslíme obrázok podľa podmienok úlohy (obr. 5).
Obrázok 5.
Aby ste to dokázali, spomeňte si na nasledujúcu vetu
Veta 2: Priamka prechádzajúca základňou naklonenej je na ňu kolmá, kolmá na jej priemet.
Keďže $AC$ je kolmý na rovinu $\alpha $, potom bod $C$ je priemetom bodu $A$ do roviny $\alpha $. Preto je $BC$ projekciou šikmého $AB$. Podľa vety 2 je $BC$ kolmý na hranu dihedrálneho uhla.
Potom uhol $ABC$ spĺňa všetky požiadavky na definovanie lineárneho dihedrálneho uhla.
Príklad 2
Dihedrálny uhol je $30^\circ$. Na jednej z plôch leží bod $A$, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti $4$ cm od druhej plochy Nájdite vzdialenosť od bodu $A$ k hrane dihedrálneho uhla.
Riešenie.
Pozrime sa na obrázok 5.
Podľa podmienky máme $AC=4\cm$.
Podľa definície stupňovej miery dihedrálneho uhla máme, že uhol $ABC$ sa rovná $30^\circ$.
Trojuholník $ABC$ je pravouhlý trojuholník. Podľa definície sínusu ostrého uhla
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
TEXTOVÝ PREPIS LEKCIE:
V planimetrii sú hlavnými objektmi čiary, segmenty, lúče a body. Lúče vychádzajúce z jedného bodu tvoria jeden z ich geometrických tvarov – uhol.
Vieme, že lineárny uhol sa meria v stupňoch a radiánoch.
V stereometrii sa k objektom pridáva rovina. Útvar tvorený priamkou a a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou a, ktoré geometriou nepatria do rovnakej roviny, sa nazýva dihedrálny uhol. Polroviny sú plochy dihedrálneho uhla. Priamka a je hrana dihedrálneho uhla.
Dihedrálny uhol, podobne ako lineárny uhol, možno pomenovať, zmerať a zostrojiť. To je to, čo musíme zistiť v tejto lekcii.
Nájdite dihedrálny uhol na modeli štvorstenu ABCD.
Dihedrálny uhol s hranou AB sa nazýva CABD, kde body C a D patria rôznym stenám uhla a hrana AB sa nazýva v strede.
Okolo nás je pomerne veľa predmetov s prvkami vo forme dihedrálneho uhla.
V mnohých mestách sú v parkoch inštalované špeciálne lavičky na zmierenie. Lavička je vyrobená vo forme dvoch naklonených rovín zbiehajúcich sa smerom k stredu.
Pri stavbe domov sa používa tzv sedlová strecha. Na tomto dome je strecha vyrobená vo forme klinového uhla 90 stupňov.
Dihedrálny uhol sa tiež meria v stupňoch alebo radiánoch, ale ako ho merať.
Zaujímavosťou je, že strechy domov spočívajú na krokve. A opláštenie krokvy tvorí dva strešné svahy pod daným uhlom.
Prenesieme obrázok na výkres. Na nákrese na nájdenie dihedrálneho uhla je na jeho okraji vyznačený bod B Z tohto bodu sú nakreslené dva lúče BA a BC kolmo na hranu uhla. Uhol ABC vytvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny dihedrálny uhol.
Miera stupňa dihedrálneho uhla sa rovná miere stupňa jeho lineárneho uhla.
Zmeriame uhol AOB.
Miera stupňa daného dihedrálneho uhla je šesťdesiat stupňov.
Pre dihedrálny uhol je možné nakresliť nekonečné množstvo lineárnych uhlov, je dôležité vedieť, že sú všetky rovnaké.
Uvažujme dva lineárne uhly AOB a A1O1B1. Lúče OA a O1A1 ležia na tej istej ploche a sú kolmé na priamku OO1, takže sú kosmerné. Nosníky OB a O1B1 sú tiež v spoločnej réžii. Preto sa uhol AOB rovná uhlu A101B1 ako uhol so súsmernými stranami.
Takže dihedrálny uhol je charakterizovaný lineárnym uhlom a lineárne uhly sú ostré, tupé a pravé. Zoberme si modely dihedrálnych uhlov.
Tupý uhol je, ak je jeho lineárny uhol medzi 90 a 180 stupňami.
Pravý uhol, ak je jeho lineárny uhol 90 stupňov.
Ostrý uhol, ak je jeho lineárny uhol od 0 do 90 stupňov.
Dokážme jeden z dôležité vlastnosti lineárny uhol.
Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu dihedrálneho uhla.
Nech uhol AOB je lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Podľa konštrukcie sú lúče AO a OB kolmé na priamku a.
Rovina AOB prechádza dvoma pretínajúcimi sa priamkami AO a OB podľa vety: Rovina prechádza dvoma pretínajúcimi sa priamkami a iba jednou.
Priamka a je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine, čo znamená, že na základe kolmosti priamky a roviny je priamka a kolmá na rovinu AOB.
Na riešenie problémov je dôležité vedieť zostrojiť lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Zostrojte lineárny uhol dvojstenného uhla s hranou AB pre štvorsten ABCD.
Hovoríme o dihedrálnom uhle, ktorý tvorí najprv hrana AB, jedna plocha ABD a druhá plocha ABC.
Tu je jeden spôsob, ako ho postaviť.
Nakreslíme kolmicu z bodu D na rovinu ABC Označme bod M ako základňu kolmice. Pripomeňme, že v štvorstene sa základňa kolmice zhoduje so stredom vpísanej kružnice na základni štvorstenu.
Nakreslíme naklonenú čiaru z bodu D kolmo na hranu AB, označíme bod N ako základňu naklonenej čiary.
V trojuholníku DMN bude úsečka NM priemetom naklonenej DN do roviny ABC. Podľa vety o troch kolmiciach bude hrana AB kolmá na priemet NM.
To znamená, že strany uhla DNM sú kolmé na hranu AB, čo znamená, že zostrojený uhol DNM je požadovaný lineárny uhol.
Zoberme si príklad riešenia problému výpočtu dihedrálneho uhla.
Rovnoramenný trojuholník ABC a pravidelný trojuholník ADB neležia v rovnakej rovine. Úsek CD je kolmý na rovinu ADB. Nájdite dihedrálny uhol DABC, ak AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Dihedrálny uhol DABC sa rovná jeho lineárnemu uhlu. Zostavme tento uhol.
Nakreslíme naklonenú CM kolmo na hranu AB, keďže trojuholník ACB je rovnoramenný, potom sa bod M bude zhodovať so stredom hrany AB.
Priamka CD je kolmá na rovinu ADB, čo znamená, že je kolmá na priamku DM ležiacu v tejto rovine. A segment MD je priemetom nakloneného CM do roviny ADV.
Priamka AB je konštrukciou kolmá na naklonenú CM, čo znamená, že podľa vety o troch kolmiciach je kolmá na priemet MD.
Na hranu AB teda nájdeme dve kolmice CM a DM. To znamená, že tvoria lineárny uhol CMD dihedrálneho uhla DABC. A všetko, čo musíme urobiť, je nájsť ho z pravouhlého trojuholníka CDM.
Takže segment SM je stred a nadmorská výška rovnoramenného trojuholníka ACB, potom podľa Pytagorovej vety je noha SM rovná 4 cm.
Z pravouhlého trojuholníka DMB sa podľa Pytagorovej vety noha DM rovná dvom koreňom z troch.
Kosínus uhla z pravouhlého trojuholníka sa rovná pomeru priľahlého ramena MD k prepone CM a rovná sa trom koreňom z troch krát dva. To znamená, že uhol CMD je 30 stupňov.