ตามตำแหน่งที่ยอมรับโดยทั่วไป เส้นเมริเดียนสำคัญถือเป็นตำแหน่งที่ผ่านหอดูดาวกรีนิชเก่าในกรีนิช สามารถรับพิกัดทางภูมิศาสตร์ของสถานที่ได้โดยใช้เครื่องนำทาง GPS อุปกรณ์นี้รับสัญญาณระบบระบุตำแหน่งด้วยดาวเทียมในระบบพิกัด WGS-84 ซึ่งเหมือนกันทั่วโลก
รุ่นเนวิเกเตอร์แตกต่างกันไปตามผู้ผลิต ฟังก์ชันการทำงาน และอินเทอร์เฟซ ปัจจุบัน อุปกรณ์นำทาง GPS ในตัวมีให้ใช้งานในโทรศัพท์มือถือบางรุ่นด้วย แต่รุ่นไหนก็บันทึกและบันทึกพิกัดของจุดได้
ระยะห่างระหว่างพิกัด GPS
เพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติและเชิงทฤษฎีในบางอุตสาหกรรม จำเป็นต้องสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างจุดตามพิกัดได้ มีหลายวิธีที่คุณสามารถทำเช่นนี้ได้ รูปแบบมาตรฐานของการแสดงพิกัดทางภูมิศาสตร์: องศา นาที วินาทีตัวอย่างเช่น คุณสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างพิกัดต่อไปนี้: จุดที่ 1 - ละติจูด 55°45′07″ N, ลองจิจูด 37°36′56″ E; จุดที่ 2 - ละติจูด 58°00′02″ N, ลองจิจูด 102°39′42″ E.
วิธีที่ง่ายที่สุดคือใช้เครื่องคิดเลขคำนวณความยาวระหว่างจุดสองจุด ในเครื่องมือค้นหาของเบราว์เซอร์คุณต้องตั้งค่าพารามิเตอร์การค้นหาต่อไปนี้: ออนไลน์ - เพื่อคำนวณระยะห่างระหว่างสองพิกัด ในเครื่องคิดเลขออนไลน์ ค่าละติจูดและลองจิจูดจะถูกป้อนลงในช่องค้นหาสำหรับพิกัดที่หนึ่งและที่สอง เมื่อคำนวณเครื่องคิดเลขออนไลน์ให้ผลลัพธ์ - 3,800,619 ม.
วิธีถัดไปนั้นใช้แรงงานเข้มข้นกว่าแต่ยังมองเห็นได้ชัดเจนกว่าด้วย คุณต้องใช้โปรแกรมแผนที่หรือการนำทางที่มีอยู่ โปรแกรมที่คุณสามารถสร้างจุดโดยใช้พิกัดและวัดระยะทางระหว่างจุดเหล่านั้น ได้แก่ แอปพลิเคชันต่อไปนี้: BaseCamp (อะนาล็อกสมัยใหม่ของโปรแกรม MapSource), Google Earth, SAS.Planet
โปรแกรมทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นมีให้สำหรับผู้ใช้เครือข่ายทุกคน ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณระยะห่างระหว่างสองพิกัดใน Google Earth คุณต้องสร้างป้ายกำกับสองป้ายที่ระบุพิกัดของจุดแรกและจุดที่สอง จากนั้นเมื่อใช้เครื่องมือ "ไม้บรรทัด" คุณจะต้องเชื่อมต่อเครื่องหมายแรกและที่สองด้วยเส้นโปรแกรมจะแสดงผลการวัดโดยอัตโนมัติและแสดงเส้นทางบนภาพถ่ายดาวเทียมของโลก
ในกรณีตัวอย่างข้างต้น โปรแกรม Google Earth ส่งคืนผลลัพธ์ - ความยาวของระยะห่างระหว่างจุดที่ 1 และจุดที่ 2 คือ 3,817,353 ม.
เหตุใดจึงเกิดข้อผิดพลาดในการกำหนดระยะทาง
การคำนวณขอบเขตระหว่างพิกัดทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการคำนวณความยาวส่วนโค้ง รัศมีของโลกเกี่ยวข้องกับการคำนวณความยาวของส่วนโค้ง แต่เนื่องจากรูปร่างของโลกอยู่ใกล้กับทรงรีรูปไข่ รัศมีของโลกจึงแปรผันในบางจุด ในการคำนวณระยะห่างระหว่างพิกัด จะใช้ค่าเฉลี่ยของรัศมีของโลกซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัด ยิ่งวัดระยะทางมากเท่าใด ข้อผิดพลาดก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้นระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน
ระบบพิกัด
แต่ละจุด A ของระนาบมีลักษณะเฉพาะด้วยพิกัด (x, y) ตรงกับพิกัดของเวกเตอร์ 0A ที่ออกมาจากจุด 0 ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด
ให้ A และ B เป็นจุดใดก็ได้ของระนาบโดยมีพิกัด (x 1 y 1) และ (x 2, y 2) ตามลำดับ
เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ AB มีพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เป็นที่ทราบกันว่ากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน ดังนั้น ระยะห่าง d ระหว่างจุด A และ B หรือความยาวของเวกเตอร์ AB ที่เท่ากัน จึงถูกกำหนดจากเงื่อนไข
วัน 2 = (x 2 - x 1) 2 + (ปี 2 - ปี 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
สูตรผลลัพธ์ช่วยให้คุณค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนระนาบได้ หากทราบเพียงพิกัดของจุดเหล่านี้เท่านั้น
ทุกครั้งที่เราพูดถึงพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ เราหมายถึงระบบพิกัดที่กำหนดไว้อย่างดี x0y โดยทั่วไปสามารถเลือกระบบพิกัดบนเครื่องบินได้หลายวิธี ดังนั้น แทนที่จะใช้ระบบพิกัด x0y คุณสามารถพิจารณาระบบพิกัด x"0y" ได้ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนพิกัดเก่ารอบจุดเริ่มต้น 0 ทวนเข็มนาฬิกาลูกศรที่มุม α .
หากจุดใดจุดหนึ่งของระนาบในระบบพิกัด x0y มีพิกัด (x, y) ให้เข้า ระบบใหม่พิกัด x"0y" โดยจะมีพิกัดต่างกัน (x", y")
ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุด M ซึ่งอยู่บนแกน 0x และแยกจากจุด 0 ที่ระยะห่าง 1
แน่นอนว่าในระบบพิกัด x0y จุดนี้มีพิกัด (cos α ,บาป α ) และในระบบพิกัด x"0y" พิกัดคือ (1,0)
พิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนระนาบ A และ B ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัดในระนาบนี้ แต่ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัด เราจะใช้เหตุการณ์สำคัญนี้ให้เกิดประโยชน์อย่างมากในย่อหน้าถัดไป
การออกกำลังกาย
I. ค้นหาระยะทางระหว่างจุดต่างๆ ของระนาบด้วยพิกัด:
1) (3.5) และ (3.4); 3) (0.5) และ (5, 0); 5) (-3,4) และ (9, -17);
2) (2, 1) และ (- 5, 1); 4) (0, 7) และ (3,3); 6) (8, 21) และ (1, -3)
ครั้งที่สอง ค้นหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ด้านได้รับจากสมการ:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 และ y = 1
สาม. ในระบบพิกัด x0y จุด M และ N มีพิกัด (1, 0) และ (0,1) ตามลำดับ ค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดใหม่ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนเก่ารอบจุดเริ่มต้นด้วยมุม 30° ทวนเข็มนาฬิกา
IV. ในระบบพิกัด x0y จุด M และ N มีพิกัด (2, 0) และ (\ / 3/2, - 1/2) ตามลำดับ ค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดใหม่ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนเก่ารอบจุดเริ่มต้นเป็นมุม 30° ตามเข็มนาฬิกา
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้บนมาตราส่วนที่กำหนด ดังนั้น เมื่อพูดถึงการวัดระยะทาง คุณจำเป็นต้องทราบมาตราส่วน (หน่วยความยาว) ที่จะใช้ในการวัด ดังนั้น ปัญหาในการค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจึงมักพิจารณาอยู่บนเส้นพิกัดหรือในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบหรือในอวกาศสามมิติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง บ่อยครั้งที่คุณต้องคำนวณระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ โดยใช้พิกัดของจุดเหล่านั้น
ในบทความนี้ ก่อนอื่นเราจะนึกถึงวิธีการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนเส้นพิกัด ต่อไปเราจะได้สูตรสำหรับคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดของระนาบหรือช่องว่างตาม พิกัดที่กำหนด- โดยสรุปเราจะพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างและปัญหาทั่วไป
การนำทางหน้า
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นพิกัด
ก่อนอื่นมากำหนดสัญกรณ์กันก่อน เราจะแสดงระยะทางจากจุด A ถึงจุด B เป็น
จากนี้เราก็สรุปได้ว่า ระยะทางจากจุด A ที่มีพิกัดไปยังจุด B ที่มีพิกัดเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างในพิกัด, นั่นคือ, 
สำหรับตำแหน่งใดๆ บนเส้นพิกัด
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งบนระนาบ สูตร
เราได้รับสูตรสำหรับคำนวณระยะห่างระหว่างจุดและกำหนดไว้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ
ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด A และ B ตัวเลือกต่อไปนี้อาจเป็นไปได้
หากจุด A และ B ตรงกัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเป็นศูนย์
หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Abscissa จุดนั้นจะตรงกันและระยะทางจะเท่ากับระยะทาง . ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราพบว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นพิกัดเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัด ดังนั้น 
- เพราะฉะนั้น, .
ในทำนองเดียวกัน หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด ระยะทางจากจุด A ไปยังจุด B จะพบว่าเป็น
ในกรณีนี้ สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการก่อสร้าง และ 
และ . โดย ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ ดังนั้น .
ให้เราสรุปผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับ: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนระนาบจะพบได้จากพิกัดของจุดต่างๆ โดยใช้สูตร 
.
สูตรผลลัพธ์สำหรับการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสามารถใช้ได้เมื่อจุด A และ B ตรงกันหรือนอนอยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง จริงๆ แล้วถ้า A และ B ตรงกันล่ะก็ ถ้าจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน Ox แล้ว ถ้า A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Oy แล้ว
ระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศ สูตร
ให้เราแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในอวกาศ เรามาดูสูตรการหาระยะทางจากจุดหนึ่งกันดีกว่า 
ตรงประเด็น 
.
โดยทั่วไป จุด A และ B จะไม่อยู่ในระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง ให้เราวาดผ่านระนาบจุด A และ B ที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด Ox, Oy และ Oz จุดตัดกันของระนาบเหล่านี้กับแกนพิกัดจะให้เส้นโครงของจุด A และ B บนแกนเหล่านี้ เราแสดงถึงการคาดการณ์ 
.
ระยะห่างที่ต้องการระหว่างจุด A และ B คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แสดงในรูป จากการก่อสร้างขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเท่ากัน 
และ . ในวิชาเรขาคณิต มัธยมได้รับการพิสูจน์แล้วว่ากำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นเท่ากับผลรวมของกำลังสองของสามมิติ ดังนั้น จากข้อมูลในส่วนแรกของบทความนี้ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้ ดังนั้น
เราได้มันมาจากไหน สูตรการหาระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศ .
สูตรนี้ยังใช้ได้หากจุด A และ B
- จับคู่;
- อยู่ในแกนพิกัดอันใดอันหนึ่งหรือเส้นขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง
- อยู่ในระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่งหรือระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง
การหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุด ตัวอย่างและวิธีแก้ไข
ดังนั้นเราจึงได้สูตรในการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นพิกัด ระนาบ และพื้นที่สามมิติ ถึงเวลาดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปแล้ว
จำนวนงานในการแก้ปัญหาซึ่ง ขั้นตอนสุดท้ายการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดโดยใช้พิกัดนั้นยิ่งใหญ่มาก รีวิวฉบับเต็มตัวอย่างดังกล่าวอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้ ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในตัวอย่างที่ทราบพิกัดของจุดสองจุดและจำเป็นต้องคำนวณระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้น
ประเด็นทางทฤษฎี
เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์บนระนาบ
1. วิธีการประสานงาน: เส้นจำนวน, พิกัดบนเส้น; ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) บนระนาบ พิกัดเชิงขั้ว.
ลองพิจารณาเส้นตรงบ้าง มาเลือกทิศทางกัน (จากนั้นมันจะกลายเป็นแกน) และจุด 0 บางจุด (ที่มาของพิกัด) เรียกว่าเส้นตรงที่มีทิศทางและจุดกำเนิดที่เลือก เส้นพิกัด(เราถือว่าได้เลือกหน่วยมาตราส่วนแล้ว)
อนุญาต ม– จุดใดก็ได้บนเส้นพิกัด ก็ให้เป็นไปตามประเด็น มเบอร์จริง xเท่ากับค่า โอมส่วน: x=อ้อมตัวเลข xเรียกว่าพิกัดของจุด ม.
ดังนั้นแต่ละจุดบนเส้นพิกัดจึงสอดคล้องกับจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง - พิกัดของมัน บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน โดยแต่ละจำนวนจริง x สอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นพิกัด ซึ่งก็คือจุดนั้น มซึ่งมีพิกัดคือ x จดหมายนี้เรียกว่า หนึ่งต่อหนึ่ง.
ดังนั้น จำนวนจริงสามารถแสดงด้วยจุดของเส้นพิกัดได้ เช่น เส้นพิกัดทำหน้าที่เป็นภาพของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้นจึงเรียกว่าเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เส้นจำนวนและจำนวนใดๆ ก็คือจุดบนเส้นนี้ ใกล้จุดบนเส้นจำนวน มักจะระบุตัวเลข - พิกัด
ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (หรือคาร์ทีเซียน) บนเครื่องบิน
แกนสองแกนตั้งฉากกัน เกี่ยวกับเอ็กซ์และ เกี่ยวกับคุณมีต้นกำเนิดร่วมกัน เกี่ยวกับและหน่วยมาตราส่วนรูปแบบเดียวกัน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (หรือคาร์ทีเซียน) บนระนาบ
แกน โอ้เรียกว่าแกนแอบซิสซา, แกน โอ้– แกนพิกัด จุด เกี่ยวกับจุดตัดของแกนเรียกว่าจุดกำเนิด ระนาบที่แกนตั้งอยู่ โอ้และ โอ้เรียกว่าระนาบพิกัดและเขียนแทนด้วย เกี่ยวกับ เอ็กซ์.
ดังนั้นระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบินจะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของจุดทั้งหมดบนเครื่องบินและเซตของคู่ตัวเลขซึ่งทำให้สามารถใช้วิธีพีชคณิตในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้ แกนพิกัดแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกว่า ในไตรมาส, สี่เหลี่ยมหรือ มุมประสาน.
พิกัดเชิงขั้ว.
ระบบพิกัดเชิงขั้วประกอบด้วยจุดหนึ่ง เกี่ยวกับ, เรียกว่า เสาและรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากนั้น OEเรียกว่า แกนขั้วโลกนอกจากนี้ ยังมีการตั้งค่าหน่วยสเกลสำหรับการวัดความยาวของส่วนต่างๆ อีกด้วย ให้ระบบพิกัดเชิงขั้วได้รับและปล่อยให้ ม– จุดใดก็ได้ของเครื่องบิน ให้เราแสดงโดย ร– ระยะทางจุด มจากจุด เกี่ยวกับและผ่าน φ – มุมที่ลำแสงหมุนทวนเข็มนาฬิกาเพื่อจัดแนวแกนขั้วกับลำแสง โอม.
พิกัดเชิงขั้วคะแนน มหมายเลขโทรศัพท์ รและ φ - ตัวเลข รถือว่าพิกัดแรกแล้วเรียก รัศมีขั้วโลก, ตัวเลข φ – เรียกว่าพิกัดที่สอง มุมขั้วโลก.
จุด มด้วยพิกัดเชิงขั้ว รและ φ
ถูกกำหนดไว้ดังนี้: ม( ;φ)ให้เราสร้างการเชื่อมต่อระหว่างพิกัดเชิงขั้วของจุดและพิกัดสี่เหลี่ยมของมัน
ในกรณีนี้ เราจะถือว่าจุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอยู่ที่ขั้ว และแกนกึ่งแอบสซิสซาที่เป็นบวกเกิดขึ้นพร้อมกับแกนเชิงขั้ว
ให้จุด M มีพิกัดสี่เหลี่ยม เอ็กซ์และ ยและพิกัดเชิงขั้ว รและ φ .
| (1) |
การพิสูจน์.
หล่นจากจุด ม.1และ ม.2ตั้งฉาก ม 1 วและ ม 1 ก- เพราะ (x 2 ; y 2)- ตามทฤษฎีบทถ้า ม.1 (x1)และ ม.2 (x2)คือจุดสองจุดใดๆ และ α คือระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้น α = |x 2 - x 1 | .
การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มักมาพร้อมกับความยากลำบากมากมายสำหรับนักเรียน ช่วยให้นักเรียนรับมือกับความยากลำบากเหล่านี้ พร้อมทั้งสอนให้เขาใช้สิ่งที่มี ความรู้ทางทฤษฎีเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะในทุกส่วนของหลักสูตร "คณิตศาสตร์" - วัตถุประสงค์หลักของเว็บไซต์ของเรา
เมื่อเริ่มแก้ปัญหาในหัวข้อนี้ นักเรียนควรจะสามารถสร้างจุดบนระนาบโดยใช้พิกัดของมัน รวมทั้งค้นหาพิกัดของจุดที่กำหนดได้
การคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุด A(x A; y A) และ B(x B; y B) ที่ถ่ายบนเครื่องบินทำได้โดยใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)โดยที่ d คือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้บนระนาบ
หากปลายด้านใดด้านหนึ่งของส่วนตรงกับที่มาของพิกัดและอีกด้านมีพิกัด M(x M; y M) ดังนั้นสูตรในการคำนวณ d จะอยู่ในรูปแบบ OM = √(x M 2 + y M 2 ).
1. การคำนวณระยะทางระหว่างจุดสองจุดตามพิกัดที่กำหนดของจุดเหล่านี้
ตัวอย่างที่ 1.
จงหาความยาวของส่วนที่เชื่อมกับ ประสานงานเครื่องบินจุด A(2; -5) และ B(-4; 3) (รูปที่ 1)
สารละลาย.
คำชี้แจงปัญหาระบุว่า: x A = 2; x ข = -4; y A = -5 และ y B = 3 หา d
ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราจะได้:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสามจุดเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพิกัดของจุด O 1 ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดสามจุด A(7; -1) และ B(-2; 2) และ C(-1; -5)
สารละลาย.
จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามนั้น O 1 A = O 1 B = O 1 C ให้จุดที่ต้องการ O 1 มีพิกัด (a; b) ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2)
มาสร้างระบบสมการสองสมการกัน:
(√((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2) = √((ก + 2) 2 + (ข – 2) 2),
(√((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2) = √((ก + 1) 2 + (ข + 5) 2)
หลังจากยกกำลังสองไปทางซ้ายแล้ว ชิ้นส่วนที่ถูกต้องเราเขียนสมการ:
((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2 = (ก + 2) 2 + (ข – 2) 2,
((ก – 7) 2 + (ข + 1) 2 = (ก + 1) 2 + (ข + 5) 2.
ลดความซับซ้อน มาเขียนกันดีกว่า
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – ข + 3 = 0
เมื่อแก้ไขระบบแล้วเราจะได้: a = 2; ข = -1.
จุด O 1 (2; -1) มีระยะห่างเท่ากันจากจุดสามจุดที่ระบุในเงื่อนไขที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด (รูปที่ 2).
3. การคำนวณค่า Abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน Abscissa (พิกัด) และอยู่ในระยะที่กำหนดจากจุดที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 3
ระยะห่างจากจุด B(-5; 6) ถึงจุด A ที่วางอยู่บนแกน Ox คือ 10 หาจุด A
สารละลาย.
จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหา ลำดับของจุด A เท่ากับศูนย์ และ AB = 10
แทนจุดขาดของจุด A ด้วย a เราเขียน A(a; 0)
AB = √((ก + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((ก + 5) 2 + 36)
เราได้สมการ √((a + 5) 2 + 36) = 10 ทำให้ง่ายขึ้น เราได้
2 + 10a – 39 = 0
รากของสมการนี้คือ 1 = -13; และ 2 = 3
เราได้สองแต้ม A 1 (-13; 0) และ A 2 (3; 0)
การตรวจสอบ:
ก 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10
คะแนนที่ได้รับทั้งสองมีความเหมาะสมตามเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 3)
4. การคำนวณ Abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน Abscissa (พิกัด) และอยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนดสองจุด
ตัวอย่างที่ 4
หาจุดบนแกน Oy ที่อยู่ห่างจากจุด A (6, 12) และ B (-8, 10) เท่ากัน
สารละลาย.
ให้พิกัดของจุดที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาซึ่งอยู่บนแกน Oy เป็น O 1 (0; b) ( ณ จุดที่อยู่บนแกน Oy นั้น Abscissa เป็นศูนย์) เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า O 1 A = O 1 B
ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2)
เรามีสมการ √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) หรือ 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.
หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายขึ้น เราได้: b – 4 = 0, b = 4
จุด O 1 (0; 4) กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 4)
5. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ในระยะเดียวกันจากแกนพิกัดและจุดที่กำหนดบางจุด
ตัวอย่างที่ 5
หาจุด M ที่อยู่บนระนาบพิกัดที่ระยะห่างเท่ากันจากแกนพิกัดและจากจุด A(-2; 1)
สารละลาย.
จุด M ที่ต้องการ เช่น จุด A(-2; 1) จะอยู่ในมุมพิกัดที่สอง เนื่องจากมีระยะห่างเท่ากันจากจุด A, P 1 และ P 2 (รูปที่ 5)- ระยะห่างของจุด M จากแกนพิกัดเท่ากัน ดังนั้นพิกัดของจุด M จะเป็น (-a; a) โดยที่ a > 0
จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามนั้น MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
เหล่านั้น. |-ก| = ก.
ใช้สูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เราพบ:
MA = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2)
มาสร้างสมการกันดีกว่า:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
หลังจากยกกำลังสองและทำให้ง่ายขึ้น เราได้: a 2 – 6a + 5 = 0 แก้สมการ หา 1 = 1; และ 2 = 5
เราได้รับสองคะแนน M 1 (-1; 1) และ M 2 (-5; 5) ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา 
6. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ในระยะทางที่กำหนดเดียวกันจากแกน abscissa (พิกัด) และจากจุดที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาจุด M โดยที่ระยะห่างจากแกนพิกัดและจากจุด A(8; 6) เท่ากับ 5
สารละลาย.
จากเงื่อนไขของปัญหา จะได้ว่า MA = 5 และค่าแอบซิสซาของจุด M เท่ากับ 5 ให้พิกัดของจุด M เท่ากับ b แล้ว M(5; b) (รูปที่ 6)
ตามสูตร d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) เรามี:
แมสซาชูเซตส์ = √((5 – 8) 2 + (ข – 6) 2)
มาสร้างสมการกันดีกว่า:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5 เมื่อจัดรูปให้ง่ายขึ้น เราจะได้: b 2 – 12b + 20 = 0 รากของสมการนี้คือ b 1 = 2; b 2 = 10 ดังนั้นจึงมีสองจุดที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: M 1 (5; 2) และ M 2 (5; 10)
เป็นที่ทราบกันดีว่านักเรียนจำนวนมากเมื่อแก้ไขปัญหาอย่างอิสระจำเป็นต้องได้รับคำปรึกษาอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับเทคนิคและวิธีการในการแก้ปัญหา บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหาได้หากไม่ได้รับความช่วยเหลือจากครู นักเรียนสามารถรับคำแนะนำที่จำเป็นในการแก้ปัญหาได้จากเว็บไซต์ของเรา
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้ว่าจะหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบินได้อย่างไร?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งข้อมูลต้นฉบับ