ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต สมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

คำจำกัดความทางเรขาคณิต

|บีดี| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| -

โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| -

แทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่

พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).

	ย= ทีจีเอ็กซ์	ย= ซีทีจี x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
เพิ่มขึ้น		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย= 0	-

สูตร

นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง

สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน

ผลคูณของแทนเจนต์

สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

การขยายซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ สิ่งนี้จะสร้างสูตรต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
G. Korn, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร, 2012.

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก- ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อระบุ รากที่สอง- หากต้องการระบุเศษส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์ “/”

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่มีประโยชน์:

สำหรับ การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ค้นหาที่จุดตัดของเส้นที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรามองหาคอลัมน์ที่มีส่วนหัวของไซน์ (ไซน์) และค้นหาจุดตัดของคอลัมน์ตารางนี้มีแถว "30 องศา" ที่จุดตัดของพวกเขาเราจะอ่านผลลัพธ์ - ครึ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราก็พบ โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin และเส้น 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ ก็พบในลักษณะเดียวกัน

ไซน์พาย, โคไซน์พาย, แทนเจนต์พาย และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางด้านล่างของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็น ให้ไว้เป็นเรเดียน- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลขพายแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการขึ้นต่อกันของเส้นรอบวงกับการวัดระดับของมุม ดังนั้น ไพ เรเดียน จึงเท่ากับ 180 องศา

จำนวนใดๆ ที่แสดงเป็นรูปพาย (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ปี่.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้นไซน์ของพายจึงเหมือนกับไซน์ของ 180 องศาและเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้นโคไซน์ของพายจึงเหมือนกับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ pi จึงเหมือนกับแทนเจนต์ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าทั่วไป)

ค่ามุม α (องศา)	ค่ามุม α เป็นเรเดียน (ผ่านพี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	กะรัต (โคแทนเจนต์)	วินาที (ตัด)	โคเซค (โคซีแคนต์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	พาย/12			2 - √3	2 + √3
30	พาย/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	พาย/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	พาย/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีการระบุเส้นประแทนค่าฟังก์ชัน (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) หมายความว่าเมื่อใด มูลค่าที่กำหนดการวัดระดับของฟังก์ชันมุมไม่มีค่าเฉพาะ หากไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์ว่างเปล่า ซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้สอบถามเข้ามาหาเราและเสริมตารางด้วยค่าใหม่ แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบบ่อยที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้ ปัญหา.

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมยอดนิยม
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข “ตามตาราง Bradis”)

มุม α ค่า (องศา)	ค่ามุม α ในหน่วยเรเดียน	บาป (ไซน์)	คอส (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	CTG (โคแทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร จะช่วยให้คุณเข้าใจรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมขวา (ในตัวอย่างของเรา นี่คือด้าน \(AC\)); ขาคือด้านที่เหลืออีกสองด้าน \(AB\) และ \(BC\) (ที่อยู่ติดกับมุมขวา) และถ้าเราพิจารณาขาที่สัมพันธ์กับมุม \(BC\) แล้วขา \(AB\) ก็คือ ขาที่อยู่ติดกัน และขา \(BC\) อยู่ตรงข้าม ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร?

ไซน์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมของเรา:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

โคไซน์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมของเรา:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

แทนเจนต์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด)

ในสามเหลี่ยมของเรา:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

โคแทนเจนต์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อขาตรงข้าม (ไกล)

ในสามเหลี่ยมของเรา:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

คำจำกัดความเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็น จดจำ- เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้นว่าขาไหนจะแบ่งเป็นขาไหน ก็ต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าขาไหน แทนเจนต์และ โคแทนเจนต์มีเพียงขาเท่านั้นที่นั่ง และด้านตรงข้ามมุมฉากปรากฏเฉพาะด้านใน ไซนัสและ โคไซน์- จากนั้นคุณก็จะสามารถสร้างสมาคมขึ้นมาได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ → สัมผัส → สัมผัส → ที่อยู่ติดกัน

ก่อนอื่น คุณต้องจำไว้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เนื่องจากอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมเดียวกัน) ไม่เชื่อ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูภาพ:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาโคไซน์ของมุม \(\beta \) ตามคำนิยาม จากรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุม \(\beta \) จากสามเหลี่ยม \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)- คุณคงเห็นว่าความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ก็ไปรวบรวมมันได้เลย!

สำหรับสามเหลี่ยม \(ABC \) ที่แสดงในภาพด้านล่าง เราจะพบ \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(อาร์เรย์) \)

คุณได้รับมันหรือไม่? จากนั้นลองด้วยตัวเอง: คำนวณแบบเดียวกันสำหรับมุม \(\beta \)

คำตอบ: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่ององศาและเรเดียน เราจึงพิจารณาวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ \(1\) วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว- มันจะมีประโยชน์มากเมื่อเรียนตรีโกณมิติ ดังนั้นเรามาดูรายละเอียดกันอีกสักหน่อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมเท่ากับ 1 ในขณะที่ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน \(x\) (ในตัวอย่างของเรา นี่ คือรัศมี \(AB\))

แต่ละจุดบนวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดตามแกน \(x\) และพิกัดตามแกน \(y\) หมายเลขพิกัดเหล่านี้คืออะไร? โดยทั่วไปแล้วพวกเขาต้องทำอะไรกับหัวข้อที่กำลังดำเนินอยู่? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องจำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณาไว้ ในรูปด้านบน คุณสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ACG\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก \(CG\) ตั้งฉากกับแกน \(x\)

\(\cos \ \alpha \) จากสามเหลี่ยม \(ACG \) คืออะไร? ถูกตัอง \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)- นอกจากนี้ เรารู้ว่า \(AC\) คือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งหมายถึง \(AC=1\) ลองแทนค่านี้เป็นสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \ \alpha \) จากสามเหลี่ยม \(ACG \) เท่ากับเท่าใด แน่นอนว่า \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)- แทนค่ารัศมี \(AC\) ลงในสูตรนี้แล้วได้:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

แล้วคุณบอกได้ไหมว่าจุด \(C\) ของวงกลมมีพิกัดอะไร? ไม่มีทางเหรอ? จะเป็นอย่างไรถ้าคุณรู้ว่า \(\cos \ \alpha \) และ \(\sin \alpha \) เป็นเพียงตัวเลขล่ะ? \(\cos \alpha \) สอดคล้องกับพิกัดใด แน่นอนพิกัด \(x\)! และพิกัดใดที่ \(\sin \alpha \) สอดคล้องกับ? ใช่แล้ว ประสานงาน \(y\)! ดังนั้นประเด็น \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

แล้ว \(tg \alpha \) และ \(ctg \alpha \) เท่ากับอะไร? ถูกต้อง ลองใช้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วได้สิ่งนั้น \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ก \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

มีอะไรเปลี่ยนแปลงในตัวอย่างนี้? ลองคิดดูสิ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หมุนอีกครั้งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : มุม (ซึ่งอยู่ติดกับมุม \(\beta \) ) ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเป็นเท่าใด \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\เบต้า \ \)- ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(อาร์เรย์) \)

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด \(y\) ; ค่าโคไซน์ของมุม – พิกัด \(x\) ; และค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

มีการกล่าวไปแล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีนั้นอยู่ในทิศทางบวกของแกน \(x\) จนถึงตอนนี้ เราได้หมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนมันตามเข็มนาฬิกา? ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมของค่าที่แน่นอนด้วย แต่จะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกาเราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา – เชิงลบ.

เรารู้ว่าการหมุนรอบเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมทั้งหมดคือ \(360()^\circ \) หรือ \(2\pi \) เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีด้วย \(390()^\circ \) หรือโดย \(-1140()^\circ \) แน่นอนคุณทำได้! ในกรณีแรก \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)ดังนั้น เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งและหยุดที่ตำแหน่ง \(30()^\circ \) หรือ \(\dfrac(\pi )(6) \)

ในกรณีที่สอง \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติเต็มสามครั้งและหยุดที่ตำแหน่ง \(-60()^\circ \) หรือ \(-\dfrac(\pi )(3) \)

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่แตกต่างกันโดย \(360()^\circ \cdot m \) หรือ \(2\pi \cdot m \) (โดยที่ \(m \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ ) ตรงกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม \(\beta =-60()^\circ \) ภาพเดียวกันตรงกับมุม \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)ฯลฯ รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไป \(\beta +360()^\circ \cdot m\)หรือ \(\beta +2\pi \cdot m \) (โดยที่ \(m \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(อาร์เรย์) \)

ตอนนี้เมื่อทราบคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ว ให้ลองตอบว่าค่าคืออะไร:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(อาร์เรย์) \)

ต่อไปนี้เป็นวงกลมหนึ่งหน่วยที่จะช่วยคุณ:

มีปัญหาใช่ไหม? ถ้าอย่างนั้นเราลองมาคิดกันดู ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(อาร์เรย์)\)

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมที่แน่นอน เรามาเริ่มกันตามลำดับ: มุมเข้า \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด \(\left(0;1 \right) \) ดังนั้น:

\(\บาป 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\ลูกศรขวา \text(tg)\ 90()^\circ \)- ไม่ได้อยู่;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

นอกจากนี้ การปฏิบัติตามตรรกะเดียวกัน เราพบว่ามุมเข้า \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \ขวา) \)ตามลำดับ เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว ง่ายต่อการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดที่เกี่ยวข้อง ลองด้วยตัวเองก่อนแล้วตรวจสอบคำตอบ

คำตอบ:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\ลูกศรขวา \text(ctg)\ \pi \)- ไม่ได้อยู่

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\ลูกศรขวา \text(tg)\ 270()^\circ \)- ไม่ได้อยู่

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\ลูกศรขวา \text(ctg)\ 2\pi \)- ไม่ได้อยู่

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\ลูกศรขวา \text(tg)\ 450()^\circ \)- ไม่ได้อยู่

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางได้ดังนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(คุณต้องจำหรือแสดงได้!! \) !}

แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)ตามตารางด้านล่าง คุณต้องจำไว้ว่า:

อย่ากลัวไป ตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่งของการจำค่าที่สอดคล้องกันอย่างง่ายๆ:

หากต้องการใช้วิธีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำค่าไซน์สำหรับการวัดมุมทั้งสาม ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) เช่นเดียวกับค่าแทนเจนต์ของมุมใน \(30()^\circ \) เมื่อทราบค่า \(4\) เหล่านี้แล้ว การเรียกคืนทั้งตารางจึงค่อนข้างง่าย - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(อาร์เรย์)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว คุณก็สามารถคืนค่าให้กับ \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)- ตัวเศษ "\(1 \)" จะสอดคล้องกับ \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) และตัวส่วน "\(\sqrt(\text(3)) \)" จะสอดคล้องกับ \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . ค่าโคแทนเจนต์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศรที่ระบุในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมที่มีลูกศรได้ก็เพียงพอที่จะจำเฉพาะค่า \(4\) จากตารางเท่านั้น

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาจุด (พิกัดของมัน) บนวงกลม โดยรู้พิกัดของศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมการหมุนของมัน? แน่นอนคุณทำได้! เอาล่ะออกไปกันเถอะ สูตรทั่วไปเพื่อค้นหาพิกัดของจุด ตัวอย่างเช่น นี่คือวงกลมที่อยู่ข้างหน้าเรา:

เราได้รับจุดนั้นแล้ว \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมคือ \(1.5\) จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุด \(P\) ที่ได้จากการหมุนจุด \(O\) ไปเป็น \(\delta \) องศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัด \(x\) ของจุด \(P\) สอดคล้องกับความยาวของเซ็กเมนต์ \(TP=UQ=UK+KQ\) ความยาวของส่วน \(UK\) สอดคล้องกับพิกัด \(x\) ของศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งก็คือ มันเท่ากับ \(3\) ความยาวของเซ็กเมนต์ \(KQ\) สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\ลูกศรขวา KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

จากนั้นเราก็ได้สิ่งนั้นสำหรับจุด \(P\) พิกัด \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

เมื่อใช้ตรรกะเดียวกัน เราจะค้นหาค่าของพิกัด y สำหรับจุด \(P\) ดังนั้น,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

ดังนั้นใน ปริทัศน์พิกัดของจุดถูกกำหนดโดยสูตร:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \เดลต้า \end(อาร์เรย์) \), ที่ไหน

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม

\(r\) - รัศมีของวงกลม

\(\delta \) - มุมการหมุนของรัศมีเวกเตอร์

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเท่ากับศูนย์และรัศมีเท่ากับ 1:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
หากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!

ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีให้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมและจำนวนในวิชาตรีโกณมิติ- ที่นี่เราจะพูดถึงสัญลักษณ์ ยกตัวอย่างรายการ และให้ภาพประกอบแบบกราฟิก โดยสรุป ให้เราวาดเส้นขนานระหว่างคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในตรีโกณมิติและเรขาคณิต

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรามาดูกันว่าแนวคิดของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เกิดขึ้นในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอย่างไร ในบทเรียนเรขาคณิต จะให้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และต่อมามีการศึกษาตรีโกณมิติซึ่งพูดถึงไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนและจำนวน ให้เรานำเสนอคำจำกัดความทั้งหมดนี้ ยกตัวอย่าง และแสดงความคิดเห็นที่จำเป็น

มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พวกมันถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราให้สูตรของพวกเขา

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก– นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก- นี่คืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม

นอกจากนี้ยังมีการแนะนำการกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย - sin, cos, tg และ ctg ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น หาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C ดังนั้นไซน์ของมุมแหลม A จะเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้าม BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB นั่นคือ sin∠A=BC/AB

คำจำกัดความเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมจากความยาวที่ทราบของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมทั้งจาก ค่านิยมที่ทราบหาความยาวของด้านอื่นๆ โดยใช้ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ และความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากเรารู้ว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก AC ขาเท่ากับ 3 และด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เท่ากับ 7 เราก็สามารถคำนวณค่าโคไซน์ของมุมแหลม A ตามคำจำกัดความ: cos∠A=AC/ เอบี=3/7.

มุมการหมุน

ในวิชาตรีโกณมิติ พวกเขาเริ่มมองมุมให้กว้างขึ้น - พวกเขาแนะนำแนวคิดเรื่องมุมการหมุน ขนาดของมุมการหมุน ไม่เหมือนมุมแหลม ไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศา (และหน่วยเรเดียน) สามารถแสดงด้วยจำนวนจริงใดๆ ตั้งแต่ −∞ ถึง +∞

ในแง่นี้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดเป็นมุมแหลม แต่เป็นมุมที่มีขนาดตามอำเภอใจ - มุมการหมุน พวกเขาได้รับผ่านพิกัด x และ y ของจุด A 1 ซึ่งจุดเริ่มต้นที่เรียกว่า A(1, 0) ไปหลังจากการหมุนของมันด้วยมุม α รอบจุด O - จุดเริ่มต้นของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม และศูนย์กลางของวงกลมหน่วย

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมการหมุนα คือลำดับของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมการหมุนα เรียกว่า abscissa ของจุด A 1 นั่นคือ cosα=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 ต่อจุดหักล้างของมัน นั่นคือ tanα=y/x

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 ต่อพิกัด ซึ่งก็คือ ctgα=x/y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ใดๆ เนื่องจากเราสามารถหาค่าแอบซิสซาและพิกัดของจุดได้เสมอ ซึ่งได้มาจากการหมุนจุดเริ่มต้นด้วยมุม α แต่แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) หรือ (0, −1) และสิ่งนี้เกิดขึ้นที่มุม 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k ราด) อันที่จริง ที่มุมการหมุนเช่นนั้น นิพจน์ tgα=y/x ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากนิพจน์มีการหารด้วยศูนย์ สำหรับโคแทนเจนต์นั้น ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์ (1, 0) หรือ (−1, 0) และสิ่งนี้เกิดขึ้นสำหรับมุม 180° k, k ∈Z (π·เค ราด).

ดังนั้น ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ แทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 180° ·k , k∈Z (π·k ราด)

คำจำกัดความรวมถึงการกำหนดที่เราทราบอยู่แล้วว่า sin, cos, tg และ ctg และยังใช้เพื่อกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน (บางครั้งคุณสามารถค้นหาการกำหนด tan และ cotที่สอดคล้องกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์) . ดังนั้นไซน์ของมุมการหมุน 30 องศาสามารถเขียนได้เป็น sin30° รายการ tg(−24°17′) และ ctgα สอดคล้องกับแทนเจนต์ของมุมการหมุน −24 องศา 17 นาที และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α . ขอให้เราระลึกว่าเมื่อเขียนหน่วยวัดเรเดียนของมุม มักจะละเว้นการกำหนด "rad" ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของมุมการหมุนของสามไพราด มักจะเขียนแทน cos3·π

โดยสรุปของประเด็นนี้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน วลี "มุมการหมุน" หรือคำว่า "การหมุน" มักถูกมองข้ามไป นั่นคือแทนที่จะใช้วลี "ไซน์ของมุมการหมุนอัลฟา" มักใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟา" หรือที่สั้นกว่านั้นคือ "ไซน์อัลฟา" เช่นเดียวกับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

นอกจากนี้เรายังจะกล่าวอีกว่าคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะพิสูจน์เรื่องนี้

ตัวเลข

คำนิยาม.

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของตัวเลข t คือตัวเลขที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในหน่วย t เรเดียน ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของตัวเลข 8·π ตามคำจำกัดความคือตัวเลขที่เท่ากับโคไซน์ของมุม 8·π rad และโคไซน์ของมุม 8·π rad เท่ากับ 1 ดังนั้น โคไซน์ของตัวเลข 8·π เท่ากับ 1

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจริง t แต่ละตัวสัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม และไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้

ให้เราแสดงวิธีการโต้ตอบระหว่างจำนวนจริงและจุดบนวงกลม:

• หมายเลข 0 ถูกกำหนดให้เป็นจุดเริ่มต้น A(1, 0);
• จำนวนบวก t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยซึ่งเราจะไปถึงถ้าเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปตามเส้นทางที่มีความยาว t
• จำนวนลบ t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเราจะไปถึงได้หากเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางตามเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปในเส้นทางที่มีความยาว |t| -

ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน t สมมติว่าตัวเลข t ตรงกับจุดบนวงกลม A 1 (x, y) (เช่น ตัวเลข &pi/2; ตรงกับจุด A 1 (0, 1))

คำนิยาม.

ไซน์ของจำนวน t คือลำดับของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ตรงกับเลข t นั่นคือ sint=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของจำนวน t เรียกว่า abscissa ของจุดในวงกลมหน่วยซึ่งตรงกับเลข t นั่นคือ cost=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของพิกัดต่อจุดหักมุมของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ tgt=y/x ในสูตรที่เทียบเท่ากันอีกสูตรหนึ่ง ค่าแทนเจนต์ของตัวเลข t คืออัตราส่วนของไซน์ของจำนวนนี้ต่อโคไซน์ ซึ่งก็คือ tgt=sint/cost

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของ abscissa ต่อพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ ctgt=x/y อีกสูตรหนึ่งคือ ค่าแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของโคไซน์ของจำนวน t ต่อไซน์ของจำนวน t: ctgt=cost/sint

ที่นี่เราทราบว่าคำจำกัดความที่เพิ่งให้นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ อันที่จริงจุดบนวงกลมหน่วยที่ตรงกับตัวเลข t เกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่ได้จากการหมุนจุดเริ่มต้นเป็นมุม t เรเดียน

มันยังคุ้มค่าที่จะชี้แจงประเด็นนี้ สมมุติว่าเรามีค่า sin3 เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่าเรากำลังพูดถึงไซน์ของเลข 3 หรือไซน์ของมุมการหมุนของ 3 เรเดียน? ซึ่งมักจะชัดเจนจากบริบท ไม่เช่นนั้นอาจไม่มีความสำคัญพื้นฐาน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า แต่ละมุมของการหมุน α จะสอดคล้องกันโดยสมบูรณ์ ค่าเฉพาะ sinα เหมือนกับค่าของcosα นอกจากนี้ มุมการหมุนทั้งหมดที่ไม่ใช่ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) จะสอดคล้องกับค่า tgα และค่าอื่นที่ไม่ใช่ 180°k, k∈Z (πk rad ) – ค่า ของctgα ดังนั้น sinα, cosα, tanα และ ctgα จึงเป็นฟังก์ชันของมุม α กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

เราสามารถพูดในทำนองเดียวกันเกี่ยวกับฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข แท้จริงแล้ว จำนวนจริง t แต่ละตัวสอดคล้องกับค่า Sin และราคาต้นทุนที่เฉพาะเจาะจงมาก นอกจากนี้ ตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ π/2+π·k, k∈Z จะสอดคล้องกับค่า tgt และตัวเลข π·k, k∈Z - ค่า ctgt

เรียกว่าฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน.

มักจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข มิฉะนั้น เราสามารถมองตัวแปรอิสระว่าเป็นทั้งการวัดมุม (อาร์กิวเมนต์เชิงมุม) และอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข

อย่างไรก็ตาม ที่โรงเรียนเราศึกษาฟังก์ชันตัวเลขเป็นหลัก นั่นคือ ฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งตลอดจนค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องเป็นตัวเลข ดังนั้นหากเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันโดยเฉพาะ ขอแนะนำให้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

ความสัมพันธ์ระหว่างคำจำกัดความจากเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

หากเราพิจารณามุมการหมุน α อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา ดังนั้น คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในบริบทของตรีโกณมิติจะสอดคล้องกับคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของ มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งกำหนดไว้ในหลักสูตรเรขาคณิต ลองพิสูจน์เรื่องนี้ดู

ให้เราพรรณนาวงกลมหน่วยในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ลองทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A(1, 0) . ลองหมุนเป็นมุม α ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะได้จุด A 1 (x, y) ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉาก A 1 H จากจุด A 1 ไปยังแกน Ox

เห็นได้ง่ายว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 OH เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา OH ที่อยู่ติดกับมุมนี้จะเท่ากับจุดหักมุมของจุด A 1 นั่นคือ |OH |=x ความยาวของขา A 1 H ตรงข้ามกับมุมเท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ |A 1 H|=y และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก OA 1 เท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย จากนั้น ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุมแหลม α ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A 1 OH เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ปี/1=ปี และตามคำจำกัดความจากตรีโกณมิติ ไซน์ของมุมการหมุน α เท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y นี่แสดงให้เห็นว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α เมื่อ α อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเฉียบพลัน α นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α

บรรณานุกรม.

1. เรขาคณิต. เกรด 7-9: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ล. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 20 อ.: การศึกษา, 2553. - 384 น.: ป่วย. - ไอ 978-5-09-023915-8.
2. โปโกเรลอฟ เอ.วี.เรขาคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 7-9 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A.V. Pogorelov - ฉบับที่ 2 - อ.: การศึกษา, 2544. - 224 หน้า: ป่วย. - ISBN 5-09-010803-X.
3. พีชคณิตและฟังก์ชันเบื้องต้น: บทช่วยสอนสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 มัธยม/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; เรียบเรียงโดยแพทย์สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ O. N. Golovin - ฉบับที่ 4 อ.: การศึกษา, 2512.
4. พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533. - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
5. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
6. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ใน 2 ส่วน ส่วนที่ 1: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 4, เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 424 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00792-0.
7. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - I.: การศึกษา, 2010.- 368 หน้า: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ตรีโกณมิติ - ส่วน วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ซึ่งสำรวจฟังก์ชันตรีโกณมิติและการนำไปใช้ในเรขาคณิต การพัฒนาตรีโกณมิติเริ่มขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงยุคกลาง นักวิทยาศาสตร์จากตะวันออกกลางและอินเดียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้

บทความนี้มีไว้เพื่อ แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความของตรีโกณมิติ โดยจะกล่าวถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ความหมายของพวกเขาได้รับการอธิบายและแสดงไว้ในบริบทของเรขาคณิต

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ในตอนแรก คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็นมุมจะแสดงเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์ของมุม (sin α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุม (cos α) - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุม (t g α) - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์มุม (c t g α) - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม

คำจำกัดความเหล่านี้ให้ไว้สำหรับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก!

เรามายกตัวอย่างกัน

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุมฉาก C ไซน์ของมุม A เท่ากับอัตราส่วนของขา BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

คำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จากความยาวที่ทราบของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ช่วงของค่าของไซน์และโคไซน์คือตั้งแต่ -1 ถึง 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งไซน์และโคไซน์รับค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 ช่วงของค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือเส้นจำนวนทั้งหมด นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นใช้กับมุมแหลม ในวิชาตรีโกณมิติ มีการใช้แนวคิดเรื่องมุมการหมุน ซึ่งต่างจากมุมเฉียบพลัน ซึ่งไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศาหรือเรเดียนจะแสดงด้วยจำนวนจริงตั้งแต่ - ∞ ถึง + ∞ .

ในบริบทนี้ เราสามารถนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขนาดใดก็ได้ ลองจินตนาการถึงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

จุดเริ่มต้น A ที่มีพิกัด (1, 0) หมุนรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมหน่วยผ่านมุมที่กำหนด α และไปที่จุด A 1 คำจำกัดความได้รับในแง่ของพิกัดของจุด A 1 (x, y)

ไซน์ (บาป) ของมุมการหมุน

ไซน์ของมุมการหมุน α คือพิกัดของจุด A 1 (x, y) บาป α = y

โคไซน์ (cos) ของมุมการหมุน

โคไซน์ของมุมการหมุน α คือค่าแอบซิสซาของจุด A 1 (x, y) คอส α = x

แทนเจนต์ (tg) ของมุมการหมุน

แทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 (x, y) ต่อการตัดทอนของมัน เสื้อ ก α = y x

โคแทนเจนต์ (ctg) ของมุมการหมุน

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ต่อพิกัด c t g α = x y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ นี่เป็นตรรกะ เนื่องจากสามารถกำหนดจุดหักมุมและพิกัดของจุดหลังการหมุนได้ทุกมุม สถานการณ์แตกต่างกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ค่าแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เมื่อจุดหลังการหมุนไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) และ (0, - 1) ในกรณีเช่นนี้ นิพจน์สำหรับแทนเจนต์ t g α = y x นั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากประกอบด้วยการหารด้วยศูนย์ สถานการณ์คล้ายกับโคแทนเจนต์ ข้อแตกต่างก็คือโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีที่พิกัดของจุดไปที่ศูนย์

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ α

แทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

โคแทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เมื่อแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ อย่าพูดว่า "ไซน์ของมุมการหมุน α" คำว่า "มุมการหมุน" ถูกตัดออกไป หมายความว่าสิ่งที่กำลังพูดคุยกันนั้นชัดเจนอยู่แล้วจากบริบท

ตัวเลข

แล้วคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ไม่ใช่มุมการหมุนล่ะ?

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของจำนวน

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน ทีคือจำนวนที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามลำดับ ทีเรเดียน.

ตัวอย่างเช่น ไซน์ของเลข 10 π เท่ากับไซน์ของมุมการหมุนของ 10 π rad

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข เรามาดูกันดีกว่า

จำนวนจริงใดๆ ทีจุดบนวงกลมหน่วยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้

จุดเริ่มต้นบนวงกลมคือจุด A ที่มีพิกัด (1, 0)

จำนวนบวก ที

จำนวนลบ ทีสอดคล้องกับจุดที่จุดเริ่มต้นจะไปถ้ามันเคลื่อนที่รอบวงกลมทวนเข็มนาฬิกาและผ่านเส้นทาง t

ตอนนี้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขกับจุดบนวงกลมได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว เราจะมาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ (บาป) ของ t

ไซน์ของจำนวน ที- พิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยที่ตรงกับตัวเลข ที บาป t = y

โคไซน์ (cos) ของ t

โคไซน์ของจำนวน ที- การแยกจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที เพราะ เสื้อ = x

แทนเจนต์ (tg) ของ t

แทนเจนต์ของตัวเลข ที- อัตราส่วนของพิกัดต่อจุดขาดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที t g t = y x = sin t เพราะ t

คำจำกัดความล่าสุดเป็นไปตามและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ ชี้ไปที่วงกลมที่ตรงกับตัวเลข ทีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่จุดเริ่มต้นไปหลังจากเลี้ยวเป็นมุม ทีเรเดียน.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

แต่ละค่าของมุม α สอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เช่นเดียวกับทุกมุม α นอกเหนือจาก α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ที่แน่นอน โคแทนเจนต์ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ถูกกำหนดให้กับ α ทั้งหมด ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เราสามารถพูดได้ว่า sin α, cos α, t g α, c t g α เป็นฟังก์ชันของมุมอัลฟา หรือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขได้ ทุกจำนวนจริง ทีสอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์หรือโคไซน์ของตัวเลข ที- จำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่ π 2 + π · k, k ∈ Z สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในทำนองเดียวกันถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น π · k, k ∈ Z

ฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

โดยปกติแล้วจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติใด (อาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์ตัวเลข)

กลับไปที่คำจำกัดความที่ให้ไว้ที่จุดเริ่มต้นและมุมอัลฟ่าซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา คำจำกัดความตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์มีความสอดคล้องกับคำจำกัดความทางเรขาคณิตที่กำหนดโดยอัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยสิ้นเชิง มาแสดงกันเถอะ

ลองใช้วงกลมหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ลองหมุนจุดเริ่มต้น A (1, 0) เป็นมุมสูงถึง 90 องศาแล้ววาดตั้งฉากกับแกน abscissa จากจุดผลลัพธ์ A 1 (x, y) ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้น มุม A 1 O H เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา O H เท่ากับ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ความยาวของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมจะเท่ากับพิกัดของจุด A 1 (x, y) และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย

ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุม α เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

บาป α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ซึ่งหมายความว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านอัตราส่วนกว้างยาวจะเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α โดยที่อัลฟาอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องของคำจำกัดความสามารถแสดงสำหรับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

กลับ