ระนาบครึ่งสร้างมุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัล

ข้อความถอดความของบทเรียน:

ในการวัดระนาบ วัตถุหลักได้แก่ เส้น ส่วน รังสี และจุด รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่งก่อให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตอันหนึ่งซึ่งก็คือมุมหนึ่ง

เรารู้ว่ามุมเชิงเส้นวัดเป็นองศาและเรเดียน

ในทางสามมิติ ระนาบจะถูกเพิ่มเข้าไปในวัตถุ รูปที่เกิดจากเส้นตรง a และระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขต a ร่วมซึ่งไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันในเรขาคณิต เรียกว่า มุมไดฮีดรัล ฮาล์ฟระนาบคือหน้าของมุมไดฮีดรัล เส้นตรง a คือขอบของมุมไดฮีดรัล

มุมไดฮีดรัลสามารถตั้งชื่อ วัด และสร้างได้เช่นเดียวกับมุมเชิงเส้น นี่คือสิ่งที่เราต้องค้นหาในบทเรียนนี้

ลองหามุมไดฮีดรัลของโมเดลจัตุรมุข ABCD กัน

มุมไดฮีดรัลที่มีขอบ AB เรียกว่า CABD โดยที่จุด C และ D อยู่คนละด้านของมุม และขอบ AB เรียกว่าอยู่ตรงกลาง

มีวัตถุอยู่รอบตัวเราค่อนข้างมากที่มีองค์ประกอบอยู่ในรูปของมุมไดฮีดรัล

ในหลายเมือง มีการติดตั้งม้านั่งพิเศษเพื่อการปรองดองในสวนสาธารณะ ม้านั่งทำในรูปแบบของระนาบเอียงสองอันมาบรรจบกันที่ศูนย์กลาง

เมื่อสร้างบ้านสิ่งที่เรียกว่า หลังคาหน้าจั่ว- บ้านหลังนี้หลังคาทำมุมไดฮีดรัล 90 องศา

มุมไดฮีดรัลยังวัดเป็นองศาหรือเรเดียน แต่จะวัดได้อย่างไร

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหลังคาบ้านวางอยู่บนจันทัน และโครงขื่อจะสร้างหลังคาลาดสองอันในมุมที่กำหนด

มาถ่ายโอนรูปภาพไปยังภาพวาดกันดีกว่า ในการวาดภาพ เพื่อหามุมไดฮีดรัล จุด B จะถูกวาดไว้ที่ขอบ จากจุดนี้ รังสี BA และ BC สองเส้นจะถูกลากตั้งฉากกับขอบของมุมนั้น มุม ABC ที่เกิดจากรังสีเหล่านี้เรียกว่ามุมไดฮีดรัลเชิงเส้น

การวัดระดับของมุมไดฮีดรัลเท่ากับการวัดระดับของมุมนั้น มุมเชิงเส้น.

ลองวัดมุม AOB กัน

องศาการวัดของมุมไดฮีดรัลที่กำหนดคือหกสิบองศา

มุมเชิงเส้นตรงสามารถวาดได้เป็นจำนวนอนันต์สำหรับมุมไดฮีดรัล สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าทุกมุมเท่ากัน

ลองพิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม AOB และ A1O1B1 รังสี OA และ O1A1 อยู่ในหน้าเดียวกันและตั้งฉากกับเส้นตรง OO1 ดังนั้นจึงมีทิศทางร่วม Beams OB และ O1B1 ก็มีการควบคุมร่วมกันเช่นกัน ดังนั้น มุม AOB เท่ากับมุม A1O1B1 เป็นมุมที่มีด้านร่วมทิศทาง

ดังนั้น มุมไดฮีดรัลจึงมีลักษณะเป็นมุมเชิงเส้น และมุมเชิงเส้นจะมีมุมแหลม ป้าน และมุมฉาก ลองพิจารณาแบบจำลองของมุมไดฮีดรัล

มุมป้านคือถ้ามุมเชิงเส้นอยู่ระหว่าง 90 ถึง 180 องศา

มุมขวาถ้ามุมเชิงเส้นคือ 90 องศา

มุมแหลม ถ้ามุมเชิงเส้นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

มาพิสูจน์กันอย่างหนึ่ง คุณสมบัติที่สำคัญมุมเชิงเส้น

ระนาบของมุมเชิงเส้นตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัล

ให้มุม AOB เป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด จากการก่อสร้าง รังสี AO และ OB ตั้งฉากกับเส้นตรง a

ระนาบ AOB ผ่านเส้นตัดกันสองเส้น AO และ OB ตามทฤษฎีบท: ระนาบหนึ่งผ่านเส้นตัดกันสองเส้น และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

เส้นตรง a ตั้งฉากกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบนี้ ซึ่งหมายความว่า เส้นตรง a ตั้งฉากกับระนาบ AOB ขึ้นอยู่กับความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

ในการแก้ปัญหา สิ่งสำคัญคือต้องสามารถสร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนดได้ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลด้วยขอบ AB สำหรับจัตุรมุข ABCD

เรากำลังพูดถึงมุมไดฮีดรัล ซึ่งก่อตัวขึ้น ประการแรกด้วยขอบ AB, ABD ด้านหนึ่ง และด้านที่สอง ABC

นี่เป็นวิธีหนึ่งในการสร้างมัน

ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด D ไปยังระนาบ ABC ทำเครื่องหมายจุด M เป็นฐานของเส้นตั้งฉาก โปรดจำไว้ว่าในจัตุรมุขฐานของตั้งฉากเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ที่ฐานของจัตุรมุข

ลองวาดเส้นเอียงจากจุด D ซึ่งตั้งฉากกับขอบ AB โดยทำเครื่องหมายจุด N เป็นฐานของเส้นเอียง

ในรูปสามเหลี่ยม DMN ส่วน NM จะเป็นเส้นโครงของ DN ที่เอียงไปบนระนาบ ABC ตามทฤษฎีบทของเส้นตั้งฉากสามเส้น ขอบ AB จะตั้งฉากกับเส้นโครง NM

ซึ่งหมายความว่าด้านข้างของมุม DNM ตั้งฉากกับขอบ AB ซึ่งหมายความว่ามุมที่สร้างขึ้น DNM นั้นเป็นมุมเชิงเส้นที่ต้องการ

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาการคำนวณมุมไดฮีดรัล

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC และสามเหลี่ยมปกติ ADB ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ซีดีส่วนตั้งฉากกับระนาบ ADB ค้นหามุมไดฮีดรัล DABC ถ้า AC=CB=2 ซม., AB= 4 ซม.

มุมไดฮีดรัลของ DABC เท่ากับมุมเชิงเส้น มาสร้างมุมนี้กัน

ให้เราวาด CM ที่มีความเอียงซึ่งตั้งฉากกับขอบ AB เนื่องจากสามเหลี่ยม ACB เป็นหน้าจั่ว ดังนั้นจุด M จะตรงกับจุดกึ่งกลางของขอบ AB

แผ่นซีดีเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ ADB ซึ่งหมายความว่าตั้งฉากกับเส้นตรง DM ที่อยู่ในระนาบนี้ และส่วน MD คือเส้นโครงของ CM ที่เอียงไปบนระนาบ ADV

เส้นตรง AB ตั้งฉากกับ CM ที่เอียงโดยการสร้าง ซึ่งหมายความว่าตามทฤษฎีบทของสามเส้นตั้งฉาก เส้นนี้จะตั้งฉากกับเส้นโครง MD

ดังนั้น จะพบว่า CM และ DM ตั้งฉากกับขอบ AB ซึ่งหมายความว่าพวกมันสร้างมุมเชิงเส้น CMD ของมุมไดฮีดรัล DABC สิ่งที่เราต้องทำคือหามันจาก CDM สามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังนั้น ส่วน SM คือค่ามัธยฐานและความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ACB จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขา SM เท่ากับ 4 ซม.

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก DMB ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขา DM เท่ากับรากที่สองของสาม

โคไซน์ของมุมจากสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของ MD ขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก CM และเท่ากับสามรากของสามคูณสอง ซึ่งหมายความว่ามุม CMD คือ 30 องศา

หัวข้อบทเรียน: “มุมไดฮีดรัล”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: การแนะนำแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัลและมุมเชิงเส้น

งาน:

เกี่ยวกับการศึกษา: พิจารณางานเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้แนวคิดเหล่านี้พัฒนาทักษะเชิงสร้างสรรค์ในการค้นหามุมระหว่างระนาบ

พัฒนาการ: การพัฒนาความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียน การพัฒนาตนเองของนักเรียน การพัฒนาคำพูดของนักเรียน

เกี่ยวกับการศึกษา: การหล่อเลี้ยงวัฒนธรรมการทำงานทางจิต วัฒนธรรมการสื่อสาร วัฒนธรรมการไตร่ตรอง

ประเภทบทเรียน: บทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ใหม่

วิธีการสอน: อธิบายและอธิบาย

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์ ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

วรรณกรรม:

เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ลิตร S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 18 – อ.: การศึกษา, 2552. – 255 น.

แผนการเรียน:

เวลาจัดงาน(2 นาที)

การอัพเดตความรู้ (5 นาที)

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (12 นาที)

การเสริมเนื้อหาที่เรียนรู้ (21 นาที)

การบ้าน (2 นาที)

สรุป (3 นาที)

ระหว่างเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร

รวมถึงครูทักทายชั้นเรียน เตรียมห้องสำหรับบทเรียน และตรวจดูผู้ที่ขาดเรียน

2. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

ครู: ในบทเรียนสุดท้ายที่คุณเขียน งานอิสระ- โดยรวมแล้วงานก็เขียนได้ดี ตอนนี้เรามาทำซ้ำกันเล็กน้อย มุมในระนาบเรียกว่าอะไร?

นักเรียน: มุมบนเครื่องบินคือรูปร่างที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง

ครู: มุมระหว่างเส้นในอวกาศเรียกว่าอะไร?

นักเรียน: มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นในอวกาศคือมุมที่เล็กที่สุดที่เกิดจากรังสีของเส้นเหล่านี้โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดตัดกัน

นักเรียน: มุมระหว่างเส้นที่ตัดกันคือมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน ตามลำดับ ซึ่งขนานกับข้อมูล

ครู: มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่าอะไร?

นักเรียน: มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่ามุมใดๆ ระหว่างเส้นตรงกับเส้นโครงบนระนาบนี้

3. ศึกษาเนื้อหาใหม่

ครู: ใน Stereometry พร้อมกับมุมดังกล่าวจะพิจารณามุมประเภทอื่นด้วย - มุมไดฮีดรัล คุณคงเดาได้แล้วว่าหัวข้อของบทเรียนวันนี้คืออะไร ดังนั้นให้เปิดสมุดบันทึกของคุณ จดวันที่ของวันนี้และหัวข้อของบทเรียน

เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึก:

10.12.14.

มุมไดฮีดรัล

ครู : เพื่อแนะนำแนวคิดของมุมไดฮีดรัล ควรจำไว้ว่าเส้นตรงใดๆ ที่ลากในระนาบที่กำหนดจะแบ่งระนาบนี้ออกเป็นสองระนาบครึ่ง(รูปที่ 1 ก)

ครู : ลองจินตนาการว่าเรางอระนาบตามแนวเส้นตรงเพื่อให้ระนาบครึ่งสองอันที่มีขอบเขตไม่อยู่ในระนาบเดียวกันอีกต่อไป (รูปที่ 1, b) รูปที่ได้คือมุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากเส้นตรงและระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ระนาบครึ่งระนาบที่สร้างมุมไดฮีดรัลเรียกว่าใบหน้า มุมไดฮีดรัลมีสองด้าน จึงเป็นที่มาของชื่อมุมไดฮีดรัล เส้นตรงซึ่งเป็นขอบเขตร่วมของครึ่งระนาบ เรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล เขียนคำจำกัดความลงในสมุดบันทึกของคุณ

มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากเส้นตรงและระนาบครึ่งระนาบสองอันที่มีขอบเขตร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ครู : ในชีวิตประจำวันเรามักจะเจอวัตถุที่มีรูปร่างเป็นมุมไดฮีดรัล ยกตัวอย่าง.

นักเรียน : โฟลเดอร์ที่เปิดไว้ครึ่งหนึ่ง

นักเรียน : ผนังห้องอยู่ชิดกับพื้น

นักเรียน : หลังคาหน้าจั่วอาคาร

ครู : ขวา. และมีตัวอย่างดังกล่าวจำนวนมาก

ครู : ดังที่คุณทราบ มุมบนระนาบมีหน่วยวัดเป็นองศา คุณอาจมีคำถามว่า มุมไดฮีดรัลวัดได้อย่างไร? ทำได้ดังนี้ลองทำเครื่องหมายจุดใดจุดหนึ่งบนขอบของมุมไดฮีดรัลแล้ววาดรังสีตั้งฉากกับขอบจากจุดนี้ในแต่ละหน้า มุมที่เกิดจากรังสีเหล่านี้เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล วาดภาพลงในสมุดบันทึกของคุณ

เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึก

เกี่ยวกับ ∈ เอ เจเอสซี ⊥ ก, วีโอ ⊥ ก, SAบีดี– มุมไดฮีดรัล∠ เอโอบี– มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

ครู : มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน วาดรูปแบบนี้อีกสักตัว

ครู : มาพิสูจน์กัน พิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม AOB และพีคิวอาร์- รังสีโอเอและคิวพีนอนคว่ำหน้าและตั้งฉากกันโอคิวซึ่งหมายความว่าพวกเขาได้รับการกำกับร่วมกัน ในทำนองเดียวกันรังสี OB และคิวอาร์ร่วมกำกับ วิธี,∠ เอโอบี= ∠ พีคิวอาร์(เช่นมุมที่มีด้านชิดกัน)

ครู : ทีนี้ คำตอบสำหรับคำถามของเราคือวิธีวัดมุมไดฮีดรัลการวัดระดับของมุมไดฮีดรัลคือการวัดระดับของมุมเชิงเส้น วาดภาพมุมไดฮีดรัลแบบเฉียบพลัน ขวา และป้านใหม่จากหนังสือเรียนในหน้า 48

4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

ครู : วาดภาพสำหรับงาน

№ 1 . ให้ไว้: ∆เอบีซี, AC = BC, AB อยู่ในระนาบα, ซีดี ⊥ แอลฟา, ซี∉ แอลฟา สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลซีบีดี.

นักเรียน : สารละลาย:ซี.เอ็ม. ⊥ เอบี, กระแสตรง ⊥ เอบี∠ ซีเอ็มดี - ตามหา

№ 2. ให้ไว้: ∆เอบีซี, ∠ ค= 90°, BC อยู่บนเครื่องบินα, JSC⊥ α, ก∈ α.

สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเอบีซีโอ.

นักเรียน : สารละลาย:เอบี ⊥ บี.ซี.,เจเอสซี⊥ BC หมายถึงระบบปฏิบัติการ⊥ ดวงอาทิตย์.∠ เอซีโอ - ตามหา

№ 3 - ให้ไว้: ∆เอบีซี, ∠ C = 90°, AB อยู่ในระนาบα, ซีดี⊥ แอลฟา, ซี∉ แอลฟา สร้างมุมไดฮีดรัลเชิงเส้นบสท.

นักเรียน : สารละลาย: ซีเค ⊥ เอบี, กระแสตรง ⊥ เอบี,ดีเค ⊥ เอบี แปลว่า∠ ดีเคซี - ตามหา

№ 4 - ที่ให้ไว้:บสท- จัตุรมุขทำ⊥ เอบีซี. สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเอบีซีดี.

นักเรียน : สารละลาย:ดีเอ็ม ⊥ ดวงอาทิตย์,ทำ ⊥ VS แปลว่า โอม⊥ ดวงอาทิตย์;∠ โอเอ็มดี - ตามหา

5. สรุป.

ครู: วันนี้คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียน?

นักเรียน : สิ่งที่เรียกว่ามุมไดฮีดรัล, มุมเชิงเส้น, วัดมุมไดฮีดรัลอย่างไร

ครู : พวกเขาพูดอะไรซ้ำ?

นักเรียน : สิ่งที่เรียกว่ามุมบนเครื่องบิน มุมระหว่างเส้นตรง

6.การบ้าน.

เขียนบนกระดานและในสมุดบันทึกของท่าน: วรรค 22 หมายเลข 167 หมายเลข 170

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

DIHEDRAL ANGLE ครูคณิตศาสตร์ GOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 10 Eremenko M.A.

วัตถุประสงค์หลักของบทเรียน: แนะนำแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัลและมุมเชิงเส้น พิจารณางานสำหรับการประยุกต์ใช้แนวคิดเหล่านี้

คำจำกัดความ: มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบซึ่งมีเส้นตรงที่มีขอบเขตร่วมกัน

ขนาดของมุมไดฮีดรัลคือขนาดของมุมเชิงเส้น AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น ACD B

ขอให้เราพิสูจน์ว่ามุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลมีค่าเท่ากัน ลองพิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม AOB และ A 1 OB 1 รังสี OA และ OA 1 อยู่บนใบหน้าเดียวกันและตั้งฉากกับ OO 1 ดังนั้นจึงมีทิศทางร่วม คาน OB และ OB 1 ก็มีการควบคุมร่วมกันเช่นกัน ดังนั้น ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (เหมือนมุมที่มีด้านกำกับร่วม)

ตัวอย่างของมุมไดฮีดรัล:

คำจำกัดความ: มุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกันคือมุมที่เล็กที่สุดของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้

ภารกิจที่ 1: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ค้นหามุมระหว่างระนาบ ABC และ CDD 1 คำตอบ: 90 โอ

ปัญหาที่ 2: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ ABC และ CDA 1 คำตอบ: 45 โอ

ปัญหาที่ 3: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ ABC และ BDD 1 คำตอบ: 90 โอ

ปัญหาที่ 4: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ ACC 1 และ BDD 1 คำตอบ: 90 โอ

ปัญหาที่ 5: ในลูกบาศก์ A ... D 1 ให้หามุมระหว่างระนาบ BC 1 D และ BA 1 D วิธีแก้: ให้ O เป็นจุดกึ่งกลางของ B D A 1 OC 1 – มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล A 1 B D C 1

ปัญหาที่ 6: ในจัตุรมุข DABC ขอบทั้งหมดเท่ากัน จุด M คือจุดกึ่งกลางของขอบ AC พิสูจน์ว่า ∠ DMB คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล BACD

วิธีแก้: สามเหลี่ยม ABC และ ADC เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ดังนั้น BM ⊥ AC และ DM ⊥ AC และด้วยเหตุนี้ ∠ DMB จึงเป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล DACB

ปัญหาที่ 7: จากจุดยอด B ของสามเหลี่ยม ABC ด้าน AC ซึ่งอยู่ในระนาบ α BB 1 ตั้งฉากกับระนาบนี้ ค้นหาระยะทางจากจุด B ถึงเส้นตรง AC และถึงระนาบ α ถ้า AB=2, ∠ВАС=150 0 และมุมไดฮีดรัล ВАСВ 1 เท่ากับ 45 0

วิธีแก้: ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมป้านที่มีมุมป้าน A ดังนั้นฐานของระดับความสูง BC จึงอยู่ที่ส่วนขยายของด้าน AC VK – ระยะทางจากจุด B ถึง AC BB 1 – ระยะห่างจากจุด B ถึงระนาบ α

2) เนื่องจาก AC ⊥BK แล้ว AC⊥KB 1 (โดยทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทประมาณสามตั้งฉาก) ดังนั้น ∠VKV 1 คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล BASV 1 และ ∠VKV 1 =45 0 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· บาป 30 0, VK =1 ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· บาป 45 0 , ВВ 1 =

บทที่หนึ่งตรงและระนาบ

V. มุมไดเฮดราล, มุมขวาพร้อมระนาบ,
มุมของสองเส้นตรงที่ตัดกันทางขวา, มุมหลายเหลี่ยม

มุมไดฮีดรัล

38. คำจำกัดความส่วนของเครื่องบินที่วางอยู่บนด้านหนึ่งของเส้นตรงใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้เรียกว่า ครึ่งระนาบ- เรียกว่ารูปที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองอัน (P และ Q, รูปที่ 26) ที่เล็ดลอดออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว (AB) มุมไดฮีดรัล- เรียกว่า Direct AB ขอบและระนาบครึ่ง P และ Q - ฝ่ายหรือ ขอบมุมไดฮีดรัล

มุมดังกล่าวมักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรสองตัวที่วางอยู่ที่ขอบ (มุมไดฮีดรัล AB) แต่ถ้าที่ขอบด้านหนึ่งมีมุมไดฮีดรัลหลายมุม แต่ละมุมจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรสี่ตัว โดยสองตัวตรงกลางอยู่ที่ขอบ และอีกสองมุมด้านนอกอยู่ที่ใบหน้า (เช่น มุมไดฮีดรัล SCDR) (รูปที่. 27)

หากจากจุดใดก็ได้ D ขอบ AB (รูปที่ 28) ถูกวาดในแต่ละหน้าตั้งฉากกับขอบจากนั้นมุม CDE ที่เกิดจากพวกมันจะถูกเรียกว่า มุมเชิงเส้นมุมไดฮีดรัล

ขนาดของมุมเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดยอดบนขอบ ดังนั้น มุมเชิงเส้น CDE และ C 1 D 1 E 1 จึงเท่ากัน เนื่องจากด้านทั้งสองขนานกันตามลำดับและไปในทิศทางเดียวกัน

ระนาบของมุมเชิงเส้นตั้งฉากกับขอบ เนื่องจากมีเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับมัน ดังนั้น เพื่อให้ได้มุมเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะตัดหน้าของมุมไดฮีดรัลที่กำหนดด้วยระนาบตั้งฉากกับขอบ แล้วพิจารณามุมผลลัพธ์ในระนาบนี้

39. ความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันของมุมไดฮีดรัลมุมไดฮีดรัลสองมุมจะถือว่าเท่ากันหากสามารถนำมารวมกันได้เมื่อแทรกเข้าไป มิฉะนั้น ไม่ว่ามุมไดฮีดรัลใดก็ตามที่ถือว่าเป็นมุมที่เล็กกว่าก็จะเป็นส่วนหนึ่งของมุมอื่น

เช่นเดียวกับมุมในแผนผังระนาบ มุมไดฮีดรัลก็สามารถเป็นได้ ที่อยู่ติดกันแนวตั้งฯลฯ

หากมุมไดฮีดรัลสองมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน แต่ละมุมจะถูกเรียก มุมไดฮีดรัลด้านขวา.

ทฤษฎีบท 1) มุมไดฮีดรัลที่เท่ากันสอดคล้องกับมุมเชิงเส้นที่เท่ากัน

2) มุมไดฮีดรัลที่ใหญ่กว่าจะสัมพันธ์กับมุมเชิงเส้นที่ใหญ่กว่า

ให้ PABQ และ P 1 A 1 B 1 Q 1 (รูปที่ 29) เป็นมุมไดฮีดรัลสองมุม เราแทรกมุม A 1 B 1 ลงในมุม AB เพื่อให้ขอบ A 1 B 1 ตรงกับขอบ AB และหน้า P 1 กับหน้า P

จากนั้นถ้ามุมไดฮีดรัลเหล่านี้เท่ากัน ใบหน้า Q 1 จะตรงกับหน้า Q; ถ้ามุม A 1 B 1 น้อยกว่ามุม AB ใบหน้า Q 1 จะอยู่ในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งภายในมุมไดฮีดรัล เช่น Q 2

เมื่อสังเกตสิ่งนี้แล้ว ลองหาจุด B บนขอบทั่วไปแล้ววาดระนาบ R ผ่านจุดนั้นโดยตั้งฉากกับขอบ จากจุดตัดของระนาบนี้กับใบหน้าของมุมไดฮีดรัล จะได้มุมเชิงเส้น เป็นที่แน่ชัดว่าหากมุมไดฮีดรัลตรงกัน มุมเหล่านั้นจะมี CBD มุมเชิงเส้นเท่ากัน หากมุมไดฮีดรัลไม่ตรงกัน เช่น ใบหน้า Q 1 เข้ารับตำแหน่ง Q 2 ดังนั้นมุมไดฮีดรัลที่ใหญ่กว่าจะมีมุมเชิงเส้นที่ใหญ่กว่า (กล่าวคือ: / ย่านศูนย์กลางธุรกิจ > / ซี 2 ห้องนอน)

40. ทฤษฎีบทสนทนา 1) มุมเชิงเส้นที่เท่ากันสอดคล้องกับมุมไดฮีดรัลที่เท่ากัน

2) มุมเชิงเส้นที่ใหญ่กว่าจะสัมพันธ์กับมุมไดฮีดรัลที่ใหญ่กว่า .

ทฤษฎีบทเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายด้วยการขัดแย้งกัน

41. ผลที่ตามมา 1) มุมไดฮีดรัลด้านขวาสอดคล้องกับมุมเชิงเส้นตรง และในทางกลับกัน

กำหนดให้ (รูปที่ 30) มุมไดฮีดรัล PABQ เป็นเส้นตรง ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับมุมที่อยู่ติดกัน QABP 1 แต่ในกรณีนี้ มุมเชิงเส้น CDE และ CDE 1 ก็เท่ากันเช่นกัน และเนื่องจากอยู่ติดกัน แต่ละอันจึงต้องตั้งตรง ในทางกลับกัน ถ้ามุมเชิงเส้นที่อยู่ติดกัน CDE และ CDE 1 เท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน กล่าวคือ แต่ละมุมจะต้องเป็นเส้นตรง

2) มุมไดฮีดรัลด้านขวาทั้งหมดเท่ากันเพราะมุมเชิงเส้นของมันเท่ากัน .

ในทำนองเดียวกัน มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่า:

3) มุมไดฮีดรัลแนวตั้งมีค่าเท่ากัน.

4) ไดฮีดราล มุมที่มีขอบกำกับที่ขนานและเหมือนกัน (หรือตรงกันข้าม) ตามลำดับจะเท่ากัน

5) หากเราใช้มุมไดฮีดรัลซึ่งสอดคล้องกับหน่วยของมุมเชิงเส้นเป็นหน่วยของมุมไดฮีดรัล เราก็บอกได้ว่ามุมไดฮีดรัลนั้นวัดด้วยมุมเชิงเส้นของมัน

ที่เก็บมุมไดฮีดราล

เพื่อแนะนำแนวคิดเรื่องมุมไดฮีดรัล ก่อนอื่นให้เรานึกถึงสัจพจน์ของสเตอริโอเมทรีก่อน

ระนาบใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นระนาบครึ่งระนาบของเส้น $a$ ที่อยู่ในระนาบนี้ได้ ในกรณีนี้ จุดที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกันจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรง $a$ และจุดที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบต่างกันจะอยู่ด้านเดียวกัน ด้านที่แตกต่างกันจากเส้นตรง $a$ (รูปที่ 1)

ภาพที่ 1.

หลักการสร้างมุมไดฮีดรัลนั้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์นี้

คำจำกัดความ 1

รูปที่เรียกว่า มุมไดฮีดรัลหากประกอบด้วยเส้นตรงและระนาบครึ่งสองระนาบของเส้นนี้ซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ในกรณีนี้จะเรียกว่าระนาบครึ่งหนึ่งของมุมไดฮีดรัล ขอบและเส้นตรงที่แยกครึ่งระนาบคือ ขอบไดฮีดรัล(รูปที่ 1)

รูปที่ 2 มุมไดฮีดรัล

การวัดองศาของมุมไดฮีดรัล

คำจำกัดความ 2

ให้เราเลือกจุดที่ต้องการ $A$ บนขอบ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบครึ่งระนาบที่ต่างกัน ตั้งฉากกับขอบและตัดกันที่จุด $A$ เรียกว่า มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น(รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

แน่นอนว่า ทุกมุมไดฮีดรัลมีจำนวนมุมเชิงเส้นเป็นอนันต์

ทฤษฎีบท 1

มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลด้านหนึ่งจะเท่ากัน

การพิสูจน์.

ลองพิจารณามุมเชิงเส้นสองมุม $AOB$ และ $A_1(OB)_1$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

เนื่องจากรังสี $OA$ และ $(OA)_1$ อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกัน $\alpha $ และตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นรังสีทั้งสองจึงเป็นโคทิศทาง เนื่องจากรังสี $OB$ และ $(OB)_1$ อยู่ในครึ่งระนาบเดียวกัน $\beta $ และตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นรังสีทั้งสองจึงเป็นโคทิศทาง เพราะฉะนั้น

\[\มุม AOB=\มุม A_1(OB)_1\]

เนื่องจากความไม่แน่นอนของการเลือกมุมเชิงเส้น มุมเชิงเส้นทั้งหมดของมุมไดฮีดรัลด้านหนึ่งจะเท่ากัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำจำกัดความ 3

การวัดระดับของมุมไดฮีดรัลคือการวัดระดับของมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ขอให้เราได้รับระนาบไม่ตั้งฉากสองระนาบ $\alpha $ และ $\beta $ ที่ตัดกันตามเส้นตรง $m$ จุด $A$ อยู่ในระนาบ $\beta$ $AB$ ตั้งฉากกับเส้น $m$ $AC$ ตั้งฉากกับระนาบ $\alpha $ (จุด $C$ เป็นของ $\alpha $) พิสูจน์ว่ามุม $ABC$ เป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

การพิสูจน์.

มาวาดภาพตามเงื่อนไขของปัญหากัน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5.

เพื่อพิสูจน์ ให้นึกถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2:เส้นตรงที่ลากผ่านฐานของเส้นที่เอียงจะตั้งฉากกับเส้นนั้น ตั้งฉากกับเส้นโครง

เนื่องจาก $AC$ ตั้งฉากกับระนาบ $\alpha $ ดังนั้นจุด $C$ จึงเป็นเส้นโครงของจุด $A$ ลงบนระนาบ $\alpha $ ดังนั้น $BC$ จึงเป็นเส้นโครงของ $AB$ แบบเฉียง ตามทฤษฎีบทที่ 2 $BC$ ตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัล

จากนั้น มุม $ABC$ จะเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับการกำหนดมุมไดฮีดรัลเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 2

มุมไดฮีดรัลคือ $30^\circ$ บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งมีจุด $A$ ซึ่งอยู่ห่างจากด้านอื่น 4$ ซม. จงหาระยะห่างจากจุด $A$ ถึงขอบของมุมไดฮีดรัล

สารละลาย.

ลองดูรูปที่ 5.

ตามเงื่อนไข เรามี $AC=4\cm$

ตามคำจำกัดความของการวัดระดับของมุมไดฮีดรัล เราได้มุม $ABC$ เท่ากับ $30^\circ$

สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยนิยามของไซน์ของมุมแหลม

\[\frac(AC)(AB)=บาป(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

กลับ