หาพื้นที่ของส่วนตามแนวแกนตั้งฉากกับฐานของทรงกระบอก ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เท่ากับความสูงของทรงกระบอก ด้านที่สองคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมฐาน ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดในกรณีนี้จะเท่ากับผลคูณของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า S=2R*h โดยที่ S คือพื้นที่หน้าตัด R คือรัศมีของวงกลมฐาน โดยกำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา และ h คือความสูงของทรงกระบอก ซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหาเช่นกัน

หากส่วนนั้นตั้งฉากกับฐาน แต่ไม่ผ่านแกนการหมุน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะไม่เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม มันจะต้องมีการคำนวณ ในการทำเช่นนี้ปัญหาจะต้องบอกว่าระนาบส่วนผ่านไปจากแกนการหมุนเท่าใด เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ให้สร้างวงกลมที่ฐานของทรงกระบอก วาดรัศมีและวาดจุดบนระยะทางที่ส่วนนั้นอยู่ห่างจากศูนย์กลางของวงกลม จากจุดนี้ ให้วาดเส้นตั้งฉากกับจุดตัดกับวงกลม เชื่อมต่อจุดตัดเข้ากับศูนย์กลาง คุณจำเป็นต้องค้นหาคอร์ด หาขนาดของครึ่งคอร์ดโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันจะเท่ากัน รากที่สองจากความแตกต่างระหว่างกำลังสองของรัศมีของวงกลมจากศูนย์กลางถึงเส้นหน้าตัด a2=R2-b2. คอร์ดทั้งหมดจะเท่ากับ 2a คำนวณพื้นที่หน้าตัดซึ่งเท่ากับผลคูณของด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งก็คือ S=2a*h

สามารถตัดกระบอกสูบได้โดยไม่ต้องผ่านระนาบของฐาน ถ้า ภาพตัดขวางผ่านไปตั้งฉากกับแกนหมุนแล้วจะเป็นวงกลม พื้นที่ในกรณีนี้เท่ากับพื้นที่ฐานซึ่งคำนวณโดยสูตร S = πR2

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากต้องการจินตนาการถึงส่วนต่างๆ ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้วาดภาพและก่อสร้างเพิ่มเติมสำหรับส่วนนั้น

แหล่งที่มา:

• พื้นที่หน้าตัดของกระบอกสูบ

เส้นตัดของพื้นผิวกับระนาบเป็นของทั้งพื้นผิวและระนาบการตัด เส้นตัดของพื้นผิวทรงกระบอกที่มีระนาบการตัดขนานกับเส้นตรงเป็นเส้นตรง หากระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนของพื้นผิวการหมุน หน้าตัดจะเป็นวงกลม โดยทั่วไป เส้นตัดของพื้นผิวทรงกระบอกกับระนาบการตัดจะเป็นเส้นโค้ง

คุณจะต้องการ

• ดินสอ ไม้บรรทัด สามเหลี่ยม ลวดลาย เข็มทิศ เมตร

คำแนะนำ

บนระนาบด้านหน้าของเส้นโครง П₂ เส้นหน้าตัดเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นโครงของระนาบการตัด Σ₂ ในรูปแบบของเส้นตรง
กำหนดจุดตัดกันของยีนของกระบอกสูบด้วยการฉายภาพΣ₂ 1₂, 2₂ เป็นต้น ถึงจุด 10₂ และ 11₂

บนระนาบ P₁ เป็นวงกลม จุด 1₂, 2₂ ฯลฯ ทำเครื่องหมายไว้บนระนาบส่วน Σ₂ โดยใช้เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพฉายลงบนโครงร่างของวงกลมนี้ ทำเครื่องหมายเส้นโครงแนวนอนอย่างสมมาตรโดยสัมพันธ์กับแกนนอนของวงกลม

ดังนั้น การคาดการณ์ของส่วนที่ต้องการจึงถูกกำหนด: บนระนาบ P₂ – เส้นตรง (จุด 1₂, 2₂…10₂) บนระนาบ P₁ – วงกลม (จุด 1₁, 2₁…10₁)

ใช้สองสร้างขนาดธรรมชาติของส่วนของทรงกระบอกที่กำหนดโดยระนาบที่ยื่นออกมาด้านหน้า Σ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้วิธีการฉายภาพ

วาดระนาบ P₄ ขนานกับเส้นโครงของระนาบ Σ₂ บนแกน x₂₄ ใหม่นี้ ให้ทำเครื่องหมายจุดที่ 1₀ ระยะทางระหว่างจุด 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ ฯลฯ จากการฉายภาพส่วนหน้าของส่วน ให้วางไว้บนแกน x₂₄ ลากเส้นบางๆ ของการเชื่อมต่อการฉายภาพที่ตั้งฉากกับแกน x₂₄

ใน วิธีนี้ระนาบ P₄ จะถูกแทนที่ด้วยระนาบ P₁ ดังนั้น จากการฉายภาพแนวนอน ให้ถ่ายโอนขนาดจากแกนไปยังจุดไปยังแกนของระนาบ P₄

ตัวอย่างเช่น บน P₁ สำหรับจุดที่ 2 และ 3 นี่จะเป็นระยะห่างจาก 2₁ และ 3₁ ถึงแกน (จุด A) เป็นต้น

นอกเหนือจากระยะทางที่ระบุจากการฉายภาพแนวนอน คุณจะได้คะแนน 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ จากนั้นเพื่อความแม่นยำในการก่อสร้างมากขึ้นจึงกำหนดจุดกึ่งกลางที่เหลือ

ด้วยการเชื่อมต่อจุดทั้งหมดด้วยเส้นโค้งรูปแบบ คุณจะได้ขนาดธรรมชาติของส่วนของกระบอกสูบตามระนาบที่ยื่นออกมาด้านหน้าตามที่ต้องการ

แหล่งที่มา:

• จะเปลี่ยนเครื่องบินได้อย่างไร

เคล็ดลับ 3: วิธีค้นหาพื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องจำไว้ว่ากรวยที่ถูกตัดทอนคืออะไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง อย่าลืมวาดรูป วิธีนี้จะช่วยให้คุณระบุได้ว่าส่วนนั้นแสดงถึงรูปทรงเรขาคณิตใด ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าหลังจากนี้การแก้ปัญหาจะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณอีกต่อไป

คำแนะนำ

กรวยกลมคือวัตถุที่ได้จากการหมุนสามเหลี่ยมรอบขาข้างหนึ่ง เส้นตรงที่เล็ดลอดออกมาจากยอด กรวยและฐานที่ตัดกันเรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ถ้าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดเท่ากัน กรวยก็จะตั้งตรง ที่ฐานของวงกลม กรวยอยู่เป็นวงกลม เส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดยอดถึงฐานคือความสูง กรวย- ที่รอบตรง กรวยความสูงตรงกับแกนของมัน แกนเป็นเส้นตรงเชื่อมต่อกับศูนย์กลางของฐาน ถ้าระนาบตัดแนวนอนเป็นรูปวงกลม กรวยแล้วฐานบนจะเป็นวงกลม

เนื่องจากไม่ได้ระบุไว้ในคำชี้แจงปัญหาว่าเป็นกรวยที่ให้ไว้ในกรณีนี้ เราสามารถสรุปได้ว่านี่คือกรวยที่ถูกตัดปลายตรง ซึ่งส่วนในแนวนอนจะขนานกับฐาน ส่วนตามแนวแกนของมันเช่น ระนาบแนวตั้งซึ่งผ่านแกนของทรงกลม กรวย, เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่า ตามแนวแกนทั้งหมด ส่วนต่างๆกลมตรง กรวยมีความเท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงต้องหา. สี่เหลี่ยมตามแนวแกน ส่วนต่างๆคุณจำเป็นต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งฐานซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานที่ถูกตัดทอน กรวย, ก ด้านข้าง- ส่วนประกอบของมัน ความสูงของฟรัสตัม กรวยคือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูถูกกำหนดโดยสูตร: S = ½(a+b) h โดยที่ S – สี่เหลี่ยม a – ขนาดของฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมู b – ขนาดของฐานบน;

เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้ระบุว่าจะให้อันไหน จึงเป็นไปได้ที่เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานทั้งสองของฐานที่ถูกตัดทอน กรวยที่รู้จัก: AD = d1 – เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานล่างของส่วนที่ถูกตัดทอน กรวย;BC = d2 – เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานบน EH = h1 – ความสูง กรวย.ดังนั้น, สี่เหลี่ยมตามแนวแกน ส่วนต่างๆถูกตัดทอน กรวยถูกกำหนดไว้: S1 = ½ (d1+d2) h1

แหล่งที่มา:

• พื้นที่ของกรวยที่ถูกตัดทอน

ทรงกระบอกเป็นรูปอวกาศและประกอบด้วยฐานสองฐานที่เท่ากันคือวงกลมและพื้นผิวด้านข้างที่เชื่อมต่อเส้นที่จำกัดฐาน การคำนวณ สี่เหลี่ยม กระบอกหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดแล้วบวกเข้าด้วยกัน

พื้นที่แต่ละฐานของทรงกระบอกคือ π ร 2 พื้นที่ของฐานทั้งสองจะเป็น 2π ร 2 (รูปที่)

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็น 2π รและความสูงเท่ากับความสูงของทรงกระบอก ชม.เช่น 2π Rh.

พื้นผิวทั้งหมดของกระบอกสูบจะเป็น: 2π ร 2 + 2π Rh= 2π ร(ร+ ชม.).

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกจะถูกนำมาเป็น พื้นที่กวาดพื้นผิวด้านข้างของมัน

ดังนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกกลมขวาจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (รูป) และคำนวณโดยสูตร

ส บี.ซี. = 2πRH, (1)

ถ้าเราบวกพื้นที่ของฐานทั้งสองเข้ากับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

สเต็มเลย =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R)

ปริมาตรของกระบอกสูบตรง

ทฤษฎีบท. ปริมาณ กระบอกตรงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและส่วนสูง , เช่น.

โดยที่ Q คือพื้นที่ฐาน และ H คือความสูงของทรงกระบอก

เนื่องจากพื้นที่ฐานของทรงกระบอกคือ Q ดังนั้นจึงมีลำดับของรูปหลายเหลี่ยมที่จำกัดขอบเขตและจารึกไว้ด้วยพื้นที่ Q nและคิว' nดังนั้น

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) ถาม n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= ถาม

ขอให้เราสร้างลำดับของปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อธิบายและจารึกไว้ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น และมีขอบด้านข้างขนานกับเส้นแบ่งทั่วไปของทรงกระบอกที่กำหนดและมีความยาว H ปริซึมเหล่านี้ถูกจำกัดขอบเขตและจารึกไว้สำหรับทรงกระบอกที่กำหนด ปริมาตรของพวกมันจะพบได้จากสูตร

วี n=ถาม nเอช และ วี' n= คิว' nชม.

เพราะฉะนั้น,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) ถาม n H = \(\lim_(n \ลูกศรขวา \infty)\) Q' nเอช = คิวเอช.

ผลที่ตามมา
ปริมาตรของทรงกระบอกกลมขวาคำนวณโดยสูตร

วี = π ร 2 ชม

โดยที่ R คือรัศมีของฐาน และ H คือความสูงของทรงกระบอก

เนื่องจากฐานของทรงกระบอกกลมคือวงกลมที่มีรัศมี R ดังนั้น Q = π R 2 ดังนั้น

Stereometry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ใช้ศึกษาตัวเลขในอวกาศ ตัวเลขหลักในอวกาศคือจุด เส้นตรง และระนาบ ปรากฏในสเตอริโอเมทรี ชนิดใหม่ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น: เส้นที่ตัดกัน นี่เป็นหนึ่งในความแตกต่างที่สำคัญบางประการระหว่าง Stereometry และ Planimetry เนื่องจากในหลายกรณี ปัญหาของ Stereometry ได้รับการแก้ไขโดยการพิจารณาระนาบต่างๆ ที่เป็นไปตามกฎ Planimetric

ในธรรมชาติรอบตัวเรามีวัตถุมากมายที่เป็นแบบจำลองทางกายภาพของรูปนี้ ตัวอย่างเช่น ชิ้นส่วนเครื่องจักรจำนวนมากมีรูปร่างเป็นทรงกระบอกหรือมีบางอย่างผสมกัน และเสาอันสง่างามของวัดและมหาวิหารที่สร้างขึ้นในรูปทรงทรงกระบอก เน้นย้ำถึงความกลมกลืนและความสวยงาม

กรีก − ไคลินดรอส คำโบราณ. ในชีวิตประจำวัน - กระดาษปาปิรัส, ลูกกลิ้ง, ลูกกลิ้ง (กริยา - บิด, ม้วน)

สำหรับ Euclid จะได้ทรงกระบอกโดยการหมุนสี่เหลี่ยม ใน Cavalieri - โดยการเคลื่อนไหวของ generatrix (พร้อมคำแนะนำโดยพลการ - "กระบอกสูบ")

จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อพิจารณารูปร่างทางเรขาคณิต - ทรงกระบอก

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องพิจารณางานต่อไปนี้:

− ให้คำจำกัดความของทรงกระบอก

− พิจารณาองค์ประกอบของทรงกระบอก

− ศึกษาคุณสมบัติของทรงกระบอก

− พิจารณาประเภทของส่วนกระบอกสูบ

- หาสูตรพื้นที่ทรงกระบอก

− หาสูตรปริมาตรของทรงกระบอก

− แก้ปัญหาโดยใช้ทรงกระบอก

1.1. ความหมายของกระบอกสูบ

ลองพิจารณาเส้นบางเส้น (เส้นโค้ง ขาดหรือผสม) l นอนอยู่ในระนาบ α และเส้นตรง S บางเส้นที่ตัดกันระนาบนี้ ผ่านทุกจุดของเส้นที่กำหนด l เราวาดเส้นตรงขนานกับเส้นตรง S; พื้นผิว α ที่เกิดจากเส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า พื้นผิวทรงกระบอก- เส้น l เรียกว่าเส้นบอกแนวของพื้นผิวนี้ เส้น s 1, s 2, s 3,... เป็นตัวกำเนิดของมัน

หากตัวนำหัก พื้นผิวทรงกระบอกดังกล่าวจะประกอบด้วยแถบแบนจำนวนหนึ่งที่อยู่ระหว่างเส้นตรงคู่ขนานกัน และเรียกว่าพื้นผิวปริซึม แหล่งกำเนิดที่ผ่านจุดยอดของเส้นประนำทางเรียกว่าขอบของพื้นผิวปริซึม แถบแบนระหว่างพวกเขาคือใบหน้า

หากเราตัดพื้นผิวทรงกระบอกใดๆ ด้วยระนาบที่ไม่ขนานกับเครื่องกำเนิด เราจะได้เส้นที่สามารถใช้เป็นแนวทางสำหรับพื้นผิวนี้ได้ ในบรรดาคำแนะนำ สิ่งที่โดดเด่นคือสิ่งที่ได้จากการตัดพื้นผิวด้วยระนาบตั้งฉากกับลักษณะทั่วไปของพื้นผิว ส่วนดังกล่าวเรียกว่าส่วนปกติ และคำแนะนำที่เกี่ยวข้องเรียกว่าคำแนะนำปกติ

หากเส้นนำเป็นเส้นปิด (นูน) (หักหรือโค้ง) พื้นผิวที่สอดคล้องกันจะเรียกว่าพื้นผิวปริซึมหรือทรงกระบอกปิด (นูน) พื้นผิวทรงกระบอกที่ง่ายที่สุดจะมีวงกลมเป็นตัวนำทางตามปกติ ให้เราวิเคราะห์พื้นผิวปริซึมนูนแบบปิดที่มีระนาบสองระนาบขนานกัน แต่ไม่ขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ในส่วนต่างๆ เราจะได้รูปหลายเหลี่ยมนูน ตอนนี้ส่วนหนึ่งของพื้นผิวปริซึมที่อยู่ระหว่างระนาบ α และ α" และแผ่นโพลิกอนสองแผ่นที่เกิดขึ้นในระนาบเหล่านี้จำกัดวัตถุที่เรียกว่าวัตถุปริซึม - ปริซึม

ตัวทรงกระบอก - ทรงกระบอกถูกกำหนดให้คล้ายกับปริซึม:
ทรงกระบอกคือวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกปิด (นูน) และที่ปลายด้วยฐานแบนขนานกัน 2 อัน ฐานทั้งสองของทรงกระบอกเท่ากัน และส่วนประกอบทั้งหมดของทรงกระบอกก็เท่ากันเช่นกัน กล่าวคือ ส่วนกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอกระหว่างระนาบของฐาน

ทรงกระบอก (แม่นยำยิ่งขึ้นคือทรงกระบอกทรงกลม) เป็นตัวเรขาคณิตที่ประกอบด้วยวงกลมสองวงที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและรวมกันโดยการแปลแบบขนานและส่วนทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมเหล่านี้ (รูปที่ 1) .

วงกลมเรียกว่าฐานของทรงกระบอก และส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของเส้นรอบวงของวงกลมเรียกว่าเครื่องกำเนิดของทรงกระบอก

เนื่องจากการแปลแบบขนานคือการเคลื่อนที่ ฐานของทรงกระบอกจึงเท่ากัน

เนื่องจากในระหว่างการแปลแบบขนาน ระนาบจะเปลี่ยนเป็นระนาบขนาน (หรือเป็นระนาบขนานเอง) ดังนั้นฐานของทรงกระบอกจึงอยู่ในระนาบขนาน

เนื่องจากในระหว่างการแปลแบบขนาน จุดต่างๆ จะถูกเลื่อนไปตามเส้นคู่ขนาน (หรือที่ตรงกัน) ด้วยระยะทางเท่ากัน ดังนั้นเครื่องกำเนิดของทรงกระบอกจึงขนานและเท่ากัน

พื้นผิวของทรงกระบอกประกอบด้วยฐานและพื้นผิวด้านข้าง พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยยีน

ทรงกระบอกจะถูกเรียกว่าตรงถ้าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าตั้งฉากกับระนาบของฐาน

ทรงกระบอกตรงสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่อธิบายรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเมื่อหมุนรอบด้านเป็นแกน (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 − กระบอกตรง

ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเฉพาะทรงกระบอกตรงเท่านั้น เรียกว่าทรงกระบอกเพื่อความกะทัดรัด

รัศมีของทรงกระบอกคือรัศมีของฐาน ความสูงของทรงกระบอกคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน แกนของทรงกระบอกเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางฐาน มันขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ทรงกระบอกเรียกว่าด้านเท่ากันหมดถ้าความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

ถ้าฐานของทรงกระบอกแบน (และระนาบที่บรรจุทรงกระบอกนั้นขนานกัน) แสดงว่าทรงกระบอกนั้นยืนอยู่บนระนาบ ถ้าฐานของทรงกระบอกที่ยืนอยู่บนระนาบตั้งฉากกับเจเนราทริกซ์ แสดงว่าทรงกระบอกนั้นถูกเรียกว่าตรง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฐานของทรงกระบอกที่ยืนอยู่บนระนาบเป็นวงกลม เราก็จะพูดถึงทรงกระบอกทรงกลม (วงกลม) ถ้าเป็นรูปวงรี มันก็เป็นรูปวงรี

1. 3. ส่วนต่างๆ ของกระบอกสูบ

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบขนานกับแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 3, a) ทั้งสองด้านเป็นเครื่องกำเนิดกระบอกสูบ และอีกสองด้านเป็นคอร์ดขนานของฐาน

ก) ข)

วี) ช)

ข้าว. 3 – ส่วนต่างๆ ของกระบอกสูบ

โดยเฉพาะสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นส่วนของแนวแกน นี่คือส่วนของทรงกระบอกที่มีระนาบผ่านแกนของมัน (รูปที่ 3, b)

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบขนานกับฐานจะเป็นวงกลม (รูปที่ 3, c)

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบไม่ขนานกับฐานและมีแกนเป็นรูปวงรี (รูปที่ 3 มิติ)

ทฤษฎีบท 1 ระนาบขนานกับระนาบฐานของทรงกระบอกตัดกับพื้นผิวด้านข้างเป็นวงกลม วงกลมเท่ากันบริเวณ

การพิสูจน์. ให้ β เป็นระนาบที่ขนานกับระนาบฐานของทรงกระบอก การแปลแบบขนานในทิศทางของแกนทรงกระบอก โดยรวมระนาบ β กับระนาบของฐานของทรงกระบอก รวมส่วนของพื้นผิวด้านข้างด้วยระนาบ β กับเส้นรอบวงของฐาน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถือเป็นขีดจำกัดซึ่งพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมปกติที่จารึกไว้ในทรงกระบอกมีแนวโน้มเมื่อจำนวนด้านของฐานของปริซึมนี้เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด

ทฤษฎีบท 2 พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของมัน (ด้าน S.c = 2πRH โดยที่ R คือรัศมีของฐานของทรงกระบอก H คือ ความสูงของกระบอกสูบ)

ก) ข)
ข้าว. 4 − พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

การพิสูจน์.

ให้ P n และ H เป็นเส้นรอบวงของฐานและความสูงของปริซึม n เหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในทรงกระบอก ตามลำดับ (รูปที่ 4, a) จากนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้คือด้าน Sc − P n H สมมติว่าจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในฐานจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด (รูปที่ 4, b) จากนั้นเส้นรอบวง P n มีแนวโน้มไปที่เส้นรอบวง C = 2πR โดยที่ R คือรัศมีของฐานของทรงกระบอก และความสูง H จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมจึงมีแนวโน้มอยู่ที่ขีดจำกัด 2πRH กล่าวคือ พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับด้าน S c = 2πRH ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐานทั้งสอง พื้นที่แต่ละฐานของทรงกระบอกเท่ากับ πR 2 ดังนั้น พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก S รวมจึงคำนวณได้จากสูตร S side.c = 2πRH+ 2πR 2

ร

ที 1

ต

เอฟ

ฉ 1

เอฟ

ต

ก)

เอฟ

ข)

ข้าว. 5 − พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

หากพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถูกตัดไปตาม generatrix FT (รูปที่ 5, a) และกางออกเพื่อให้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกันด้วยเหตุนี้เราจึงได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า FTT1F1 ซึ่งเรียกว่าการพัฒนาของ พื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบ ด้าน FF1 ของสี่เหลี่ยมคือการพัฒนาของวงกลมของฐานของทรงกระบอก ดังนั้น FF1=2πR และด้าน FT เท่ากับเจเนราทริกซ์ของทรงกระบอก นั่นคือ FT = H (รูปที่ 5, b) ดังนั้น พื้นที่ FT∙FF1=2πRH ของการพัฒนาทรงกระบอกจึงเท่ากับพื้นที่ผิวด้านข้าง

1.5. ปริมาตรกระบอกสูบ

หากตัวเรขาคณิตนั้นเรียบง่าย นั่นก็คือสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนจำกัดได้ ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมจากนั้นปริมาตรจะเท่ากับผลรวมของปริมาตรของปิรามิดเหล่านี้ สำหรับเนื้อหาโดยพลการจะมีการกำหนดปริมาตรดังนี้

ตัววัตถุที่กำหนดจะมีปริมาตร V หากมีตัววัตถุธรรมดาบรรจุอยู่และมีวัตถุธรรมดาอยู่ในนั้นโดยมีปริมาตรแตกต่างจาก V เพียงเล็กน้อยตามที่ต้องการ

ให้เราใช้คำจำกัดความนี้ในการค้นหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีรัศมีฐาน R และความสูง H

เมื่อหาสูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม จะมีการสร้าง n-gons สองตัวขึ้นมา (อันหนึ่งมีวงกลม อีกอันอยู่ในวงกลม) เพื่อให้พื้นที่ของพวกมันเพิ่มขึ้น n อย่างไม่จำกัด เข้าใกล้พื้นที่ วงกลมไม่มีขอบเขต เรามาสร้างรูปหลายเหลี่ยมสำหรับวงกลมที่ฐานของทรงกระบอกกันดีกว่า ให้ P เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีวงกลม และ P" เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในวงกลม (รูปที่ 6)

ข้าว. 7 − ทรงกระบอกที่มีปริซึมอธิบายและจารึกไว้ข้างใน

ให้เราสร้างปริซึมตรงสองอันที่มีฐาน P และ P" และมีความสูง H เท่ากับความสูงของทรงกระบอก ปริซึมอันแรกมีทรงกระบอก และปริซึมอันที่สองบรรจุอยู่ในทรงกระบอก เนื่องจาก n เพิ่มขึ้นไม่จำกัด พื้นที่ฐานของปริซึมเข้าใกล้พื้นที่ฐานของทรงกระบอก S อย่างไม่ จำกัด จากนั้นปริมาตรของพวกมันจะเข้าใกล้ SH อย่างไม่มีกำหนด ตามคำจำกัดความปริมาตรของทรงกระบอก

วี = SH = πR 2 ชม.

ดังนั้นปริมาตรของทรงกระบอกจึงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ภารกิจที่ 1

ส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ Q

หาพื้นที่ฐานทรงกระบอก

ให้ไว้: ทรงกระบอก, สี่เหลี่ยม - ส่วนแกนของกระบอกสูบ, S สี่เหลี่ยม = Q

ค้นหา: S กระบอกสูบหลัก

ด้านข้างของจัตุรัสคือ มันเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน ดังนั้นพื้นที่ฐานจึงเป็น .

คำตอบ: S กระบอกสูบหลัก -

ภารกิจที่ 2

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติจะถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก ค้นหามุมระหว่างเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างกับแกนของทรงกระบอกหากรัศมีของฐาน เท่ากับความสูงกระบอก

ให้ไว้: ทรงกระบอก ปริซึมหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในทรงกระบอก รัศมีฐาน = ความสูงของทรงกระบอก

ค้นหา: มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของพื้นผิวด้านข้างกับแกนของกระบอกสูบ

วิธีแก้: ด้านข้างของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้ในวงกลมจะมีรัศมีเท่ากับรัศมี

ขอบของปริซึมขนานกับแกนทรงกระบอก ดังนั้นมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของหน้าตัดกับแกนทรงกระบอกจึงเท่ากับมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับขอบด้านข้าง และมุมนี้คือ 45° เนื่องจากหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม

คำตอบ: มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างกับแกนของทรงกระบอก = 45°

ภารกิจที่ 3

ความสูงของทรงกระบอก 6 ซม. รัศมีฐาน 5 ซม.

ค้นหาพื้นที่ของส่วนที่วาดขนานกับแกนทรงกระบอกที่ระยะห่าง 4 ซม.

ให้ไว้: H = 6 ซม., R = 5 ซม., OE = 4 ซม.

ค้นหา: วินาที

ส วินาที = กม.×KS,

OE = 4 ซม., KS = 6 ซม.

สามเหลี่ยม OKM - หน้าจั่ว (OK = OM = R = 5 ซม.)

สามเหลี่ยม OEK เป็นมุมฉาก

จากสามเหลี่ยม OEK ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

กม. = 2EK = 2×3 = 6,

ส วินาที = 6×6 = 36 ซม.2.

วัตถุประสงค์ของบทความนี้ได้บรรลุผลแล้ว โดยได้พิจารณาเนื้อหาทางเรขาคณิต เช่น ทรงกระบอกแล้ว

งานต่อไปนี้ได้รับการพิจารณา:

− ให้นิยามของทรงกระบอกไว้

- พิจารณาองค์ประกอบของทรงกระบอก

− ศึกษาคุณสมบัติของทรงกระบอก

- พิจารณาประเภทของส่วนกระบอกสูบ

− จะได้สูตรสำหรับพื้นที่ของทรงกระบอก

− จะได้สูตรปริมาตรของทรงกระบอก

− แก้ไขปัญหาโดยใช้กระบอกสูบ

1. Pogorelov A.V. Geometry: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาเกรด 10 - 11, 1995

2. เบสสกิน แอล.เอ็น. สเตอริโอเมทรี คู่มือครู มัธยม, 1999.

3. Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Kiseleva L. S. , Poznyak E. G. Geometry: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษา, 2000

4. อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี., แวร์เนอร์ เอ.แอล., ริชิค วี.ไอ. เรขาคณิต: หนังสือเรียนเกรด 10-11 ในสถาบันการศึกษาทั่วไป, 2541

5. Kiselev A. P. , Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: เกรด 10 – 11: หนังสือเรียนและหนังสือปัญหา, 2000

ทรงกระบอกเป็นรูปทรงเชิงพื้นที่สมมาตร ซึ่งคุณสมบัติดังกล่าวได้รับการพิจารณาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายในหลักสูตร Stereometry ในการอธิบายจะใช้คุณลักษณะเชิงเส้น เช่น ความสูงและรัศมีฐาน ในบทความนี้ เราจะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกคืออะไร และวิธีการคำนวณพารามิเตอร์ผ่านลักษณะเชิงเส้นพื้นฐานของรูป

รูปทรงเรขาคณิต

ขั้นแรก เรามากำหนดตัวเลขที่จะกล่าวถึงในบทความกันก่อน ทรงกระบอกคือพื้นผิวที่เกิดจากการเคลื่อนที่ขนานของส่วนที่มีความยาวคงที่ตามแนวโค้งที่กำหนด เงื่อนไขหลักสำหรับการเคลื่อนไหวนี้คือ ส่วนไม่ควรอยู่ในระนาบของเส้นโค้ง

รูปด้านล่างแสดงทรงกระบอกที่มีส่วนโค้ง (เส้นนำ) เป็นรูปวงรี

ในส่วนของความยาว h คือตัวกำเนิดและส่วนสูง

จะเห็นได้ว่ากระบอกสูบประกอบด้วยสองอัน บริเวณที่เหมือนกัน(วงรีในกรณีนี้) ซึ่งอยู่ในระนาบขนานและพื้นผิวด้านข้าง ส่วนหลังเป็นของทุกจุดของเส้นขึ้นรูป

ก่อนที่จะพิจารณาส่วนตามแนวแกนของกระบอกสูบ เราจะบอกคุณว่าตัวเลขเหล่านี้มีประเภทใดบ้าง

หากเส้นสร้างตั้งฉากกับฐานของรูป แสดงว่าเรากำลังพูดถึงทรงกระบอกตรง มิฉะนั้นกระบอกสูบจะเอียง หากคุณเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของฐานสองฐาน เส้นตรงที่ได้จะเรียกว่าแกนของรูป รูปด้านล่างแสดงความแตกต่างระหว่างกระบอกสูบแบบตรงและแบบเอียง

จะเห็นได้ว่าสำหรับรูปตรง ความยาวของเซ็กเมนต์การสร้างเกิดขึ้นพร้อมกับค่าความสูง h สำหรับทรงกระบอกเอียง ความสูงซึ่งก็คือระยะห่างระหว่างฐานจะน้อยกว่าความยาวของเส้นเจเนราทริกซ์เสมอ

ส่วนตามแนวแกนของกระบอกสูบตรง

แนวแกนคือส่วนใดๆ ของกระบอกสูบที่มีแกนอยู่ คำจำกัดความนี้หมายความว่าส่วนตามแนวแกนจะขนานกับเจเนราทริกซ์เสมอ

ในทรงกระบอกตรง แกนจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตั้งฉากกับระนาบ ซึ่งหมายความว่าวงกลมที่พิจารณาจะตัดกันตามเส้นผ่านศูนย์กลาง รูปนี้แสดงครึ่งทรงกระบอก ซึ่งเป็นผลมาจากจุดตัดของรูปโดยมีระนาบผ่านแกน

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจว่าส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกกลมตรงนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านข้างคือเส้นผ่านศูนย์กลาง d ของฐานและความสูง h ของรูป

ให้เราเขียนสูตรสำหรับพื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกและความยาว h d ของเส้นทแยงมุม:

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสองเส้นทแยงมุม แต่ทั้งสองเส้นจะเท่ากัน หากทราบรัศมีของฐานก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเขียนสูตรเหล่านี้ใหม่โดยพิจารณาว่ามีเส้นผ่านศูนย์กลางเพียงครึ่งหนึ่ง

ส่วนตามแนวแกนของกระบอกสูบแบบเอียง

ภาพด้านบนแสดงทรงกระบอกเอียงที่ทำจากกระดาษ หากคุณสร้างส่วนตามแนวแกน คุณจะไม่ได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกต่อไป แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านข้างเป็นปริมาณที่ทราบ หนึ่งในนั้นเช่นเดียวกับในกรณีของหน้าตัดของทรงกระบอกตรงนั้นมีค่าเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง d ของฐานส่วนอีกอันคือความยาวของส่วนที่ขึ้นรูป ลองแสดงว่ามัน b.

หากต้องการระบุพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมด้านขนานอย่างชัดเจน การทราบความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นไม่เพียงพอที่จะทราบได้ จำเป็นต้องมีมุมอื่นระหว่างพวกเขา สมมติว่ามุมแหลมระหว่างไกด์กับฐานคือ α นี่จะเป็นมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย จากนั้นสามารถเขียนสูตรสำหรับพื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกเอียงได้ดังนี้:

เส้นทแยงมุมของส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกเอียงนั้นค่อนข้างยากในการคำนวณ สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นทแยงมุมสองเส้น ความยาวที่แตกต่างกัน- เรานำเสนอนิพจน์โดยไม่มีรากศัพท์ที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตามด้านที่รู้จักและ มุมที่คมชัดระหว่างพวกเขา:

ลิตร 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

ลิตร 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

โดยที่ l 1 และ l 2 คือความยาวของเส้นทแยงมุมเล็กและใหญ่ตามลำดับ สูตรเหล่านี้สามารถรับได้โดยอิสระหากเราพิจารณาแต่ละเส้นทแยงมุมเป็นเวกเตอร์โดยการใช้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ

ปัญหากระบอกสูบตรง

เราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับมาแก้ไข งานต่อไป- ให้เราได้รับกระบอกตรงกลม เป็นที่ทราบกันว่าหน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ของส่วนนี้คือเท่าใดถ้าทั้งร่างคือ 100 ซม. 2?

ในการคำนวณพื้นที่ที่ต้องการ คุณต้องค้นหารัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของทรงกระบอก ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรสำหรับพื้นที่รวม S f ของรูป:

เนื่องจากส่วนตามแนวแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หมายความว่ารัศมี r ของฐานคือครึ่งหนึ่งของความสูง h เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันข้างต้นใหม่ได้เป็น:

ส ฉ = 2*ไพ*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

ตอนนี้เราสามารถแสดงรัศมี r ได้ เรามี:

เนื่องจากด้านข้างของส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของรูป สูตรต่อไปนี้จึงใช้คำนวณพื้นที่ S ได้:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

เราจะเห็นว่าพื้นที่ที่ต้องการนั้นถูกกำหนดโดยพื้นที่ผิวของกระบอกสูบโดยเฉพาะ เมื่อแทนที่ข้อมูลด้วยความเท่าเทียมกันเราจะได้คำตอบ: S = 21.23 ซม. 2

ทรงกระบอกคือวัตถุทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยระนาบขนานสองอันและพื้นผิวทรงกระบอก ในบทความเราจะพูดถึงวิธีหาพื้นที่ของทรงกระบอกและโดยใช้สูตรเราจะแก้ปัญหาต่าง ๆ เป็นตัวอย่าง

ทรงกระบอกมีพื้นผิวสามแบบ: ด้านบน ฐาน และพื้นผิวด้านข้าง

ด้านบนและฐานของทรงกระบอกเป็นวงกลมและง่ายต่อการระบุ

เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของวงกลมเท่ากับ πr 2 ดังนั้น สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมสองวง (ด้านบนและฐานของทรงกระบอก) จะเป็น πr 2 + πr 2 = 2πr 2

พื้นผิวด้านที่สามของกระบอกสูบคือผนังโค้งของกระบอกสูบ เพื่อให้จินตนาการถึงพื้นผิวนี้ได้ดียิ่งขึ้น เรามาลองแปลงโฉมให้เป็นรูปทรงที่เป็นที่รู้จักกันดีกว่า ลองนึกภาพว่าทรงกระบอกนั้นเป็นกระป๋องธรรมดาที่ไม่มีฝาปิดด้านบนหรือด้านล่าง มาตัดแนวตั้งบนผนังด้านข้างจากบนลงล่างของกระป๋อง (ขั้นตอนที่ 1 ในรูป) แล้วลองเปิด (ยืด) รูปที่ได้ออกมาให้มากที่สุด (ขั้นตอนที่ 2)

หลังจากเปิดขวดที่ได้จนสุดแล้ว เราจะเห็นรูปร่างที่คุ้นเคย (ขั้นตอนที่ 3) นี่คือสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนั้นคำนวณได้ง่าย แต่ก่อนหน้านั้นขอกลับมาที่กระบอกสูบเดิมสักครู่ จุดยอดของทรงกระบอกเดิมคือวงกลม และเรารู้ว่าเส้นรอบวงคำนวณโดยสูตร: L = 2πr มีเครื่องหมายสีแดงอยู่ในภาพ

เมื่อผนังด้านข้างของทรงกระบอกเปิดออกจนสุด เราจะเห็นว่าเส้นรอบวงกลายเป็นความยาวของสี่เหลี่ยมที่ได้ ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้จะเป็นเส้นรอบวง (L = 2πr) และความสูงของทรงกระบอก (h) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของด้านข้าง - S = ความยาว x ความกว้าง = L x h = 2πr x h = 2πrh เป็นผลให้เราได้รับสูตรในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

สูตรพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก
ด้านเอส = 2πrh

พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

สุดท้ายนี้ ถ้าเราบวกพื้นที่ของทั้งสามพื้นผิว เราจะได้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก พื้นที่ผิวของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ด้านบนของทรงกระบอก + พื้นที่ฐานของทรงกระบอก + พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอกหรือ S = πr 2 + พายr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh บางครั้งนิพจน์นี้เขียนเหมือนกับสูตร 2πr (r + h)

สูตรพื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r คือรัศมีของกระบอกสูบ h คือความสูงของกระบอกสูบ

ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวของทรงกระบอก

เพื่อทำความเข้าใจสูตรข้างต้น เรามาลองคำนวณพื้นที่ผิวของทรงกระบอกโดยใช้ตัวอย่างกัน

1. รัศมีฐานของทรงกระบอกคือ 2 ความสูงคือ 3 กำหนดพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

พื้นที่ผิวทั้งหมดคำนวณโดยใช้สูตร: ด้าน S = 2πrh

ด้านเอส = 2 * 3.14 * 2 * 3

ด้านเอส = 6.28 * 6

ด้านเอส = 37.68

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกคือ 37.68

2. จะหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได้อย่างไรถ้าความสูงเป็น 4 และรัศมีเป็น 6?

พื้นที่ผิวทั้งหมดคำนวณโดยใช้สูตร: S = 2πr 2 + 2πrh

ส = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

ส = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

กลับ