การแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
เกิดอะไรขึ้น สมการเลขชี้กำลัง- นี่คือสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ (x) และสำนวนที่เกี่ยวข้องอยู่ ตัวชี้วัดองศาบ้าง และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ
นั่นแหละ ตัวอย่างสมการเลขชี้กำลัง:
3 x 2 x = 8 x+3
บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - ตัวเลขเท่านั้น- ใน ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย X หากจู่ๆ X ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น:
นี่จะเป็นสมการแบบผสมอยู่แล้ว สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้สมการ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ การแก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด
ในความเป็นจริง แม้แต่สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลบริสุทธิ์ก็ไม่สามารถแก้ได้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ นี่คือประเภทที่เราจะพิจารณา
การแก้สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย
ก่อนอื่น เรามาแก้อะไรบางอย่างที่พื้นฐานมากกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
แม้ว่าจะไม่มีทฤษฎีใดๆ แต่การเลือกง่ายๆ ก็ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรอีกแล้วใช่ไหม!? ไม่มีค่าอื่นของ X ใช้งานได้ ตอนนี้เรามาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้:
เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? จริงๆแล้วเราก็แค่โยนมันทิ้งไป บริเวณที่เหมือนกัน(สาม). ไล่ออกหมดเลย และข่าวดีก็คือ เราโดนตะปูหัวแตก!
อันที่จริงถ้าในสมการเลขชี้กำลังมีทั้งซ้ายและขวา เหมือนตัวเลขที่อยู่ในกำลังใดๆ ก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกได้ และเลขยกกำลังก็สามารถทำให้เท่ากันได้ คณิตศาสตร์อนุญาต มันยังคงต้องแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก เยี่ยมเลยใช่ไหม?)
อย่างไรก็ตาม ขอให้เราจำไว้อย่างมั่นคง: คุณสามารถลบฐานได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขฐานด้านซ้ายและขวาแยกจากกันอย่างสวยงาม!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:
2 x +2 x+1 = 2 3 หรือ
twos ไม่สามารถลบออกได้!
เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีย้ายจากนิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า
“ถึงเวลาแล้ว!” - คุณพูด. “ใครจะให้บทเรียนพื้นฐานเกี่ยวกับการทดสอบและการสอบ!”
ฉันต้องเห็นด้วย ไม่มีใครจะ. แต่ตอนนี้คุณก็รู้แล้วว่าจะต้องมุ่งเป้าไปที่ใดเมื่อแก้ไขตัวอย่างที่ยุ่งยาก ต้องนำมาต่อแบบที่มีเลขฐานเดียวกันทั้งซ้ายและขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น จริงๆ แล้ว นี่คือคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เราใช้ตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นรูปแบบที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน
ลองดูตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อลดขนาดให้ง่ายที่สุด มาโทรหาพวกเขากันเถอะ เรียบง่าย สมการเลขชี้กำลัง.
การแก้สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.
เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลังกฎหลักคือ การกระทำที่มีองศาหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น
ในการดำเนินการที่มีระดับนั้น เราจะต้องเพิ่มการสังเกตและความเฉลียวฉลาดส่วนตัว เราต้องการ ตัวเลขเดียวกัน-สนาม? ดังนั้นเราจึงมองหาสิ่งเหล่านั้นในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส
เรามาดูกันว่าในทางปฏิบัติทำอย่างไร?
ให้เรายกตัวอย่าง:
2 2x - 8 x+1 = 0
การมองอย่างกระตือรือร้นครั้งแรกอยู่ที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่าง! สองและแปด แต่ยังเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่า
สองและแปดเป็นญาติในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:
8 x+1 = (2 3) x+1
หากเราจำสูตรได้จากการดำเนินการที่มีองศา:
(น) ม. = นาโนเมตร ,
มันได้ผลดีมาก:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
ตัวอย่างดั้งเดิมเริ่มมีลักษณะดังนี้:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการดำเนินการเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:
2 2x = 2 3(x+1)
นั่นคือทั้งหมดในทางปฏิบัติ การถอดฐาน:
เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ
นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง
ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราออกไป เรา ระบุในแปดมีการเข้ารหัสสองตัว เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานร่วมภายใต้ตัวเลขที่ต่างกัน) เป็นเทคนิคยอดนิยมในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ และในลอการิทึมด้วย คุณต้องสามารถจดจำกำลังของตัวเลขอื่นเป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในการแก้สมการเลขชี้กำลัง
ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใดๆ ให้เป็นกำลังใดๆ ไม่ใช่ปัญหา คูณแม้กระทั่งบนกระดาษก็แค่นั้นแหละ เช่น ใครๆ ก็ยก 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะได้ผลถ้าคุณรู้ตารางสูตรคูณ) แต่ในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล มักไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน... ค้นหา เลขอะไรถึงระดับไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขจะช่วยคุณได้ที่นี่
ต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยการมองเห็นใช่ไหม... มาฝึกกัน?
กำหนดว่าพลังอะไรและตัวเลขอะไรคือ:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
คำตอบ (วุ่นวายแน่นอน!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
หากมองใกล้ ๆ คุณจะเห็นข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด มีคำตอบมากกว่างานอย่างเห็นได้ชัด! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6, 4 3, 8 2 - นั่นคือทั้งหมด 64
สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณด้วยว่าในการแก้สมการเลขชี้กำลังที่เราใช้ ทั้งหมดคลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งพวกชั้นต้นและชั้นกลางด้วย คุณไม่ได้เรียนมัธยมปลายใช่ไหม?)
ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บมักจะช่วยได้ (สวัสดีนักเรียนเกรด 7!) ลองดูตัวอย่าง:
3 2x+4 -11 9 x = 210
และขอย้ำอีกครั้งว่า แวบแรกอยู่ที่ฐานราก! ฐานองศาต่างกัน...สามกับเก้า และเราอยากให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาก็สมหวังอย่างสมบูรณ์!) เพราะ:
9 x = (3 2) x = 3 2x
ใช้กฎเดียวกันในการจัดการกับองศา:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียนลงไปได้เลย:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วไงต่อ!? คุณไม่สามารถโยนสามออกไปได้... ทางตันเหรอ?
ไม่เลย. จำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทุกคนงานคณิตศาสตร์:
หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร ให้ทำเท่าที่ทำได้!
ดูสิทุกอย่างจะได้ผล)
มีอะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางด้านซ้ายขอให้เอาออกจากวงเล็บ! ตัวคูณโดยรวมของ 3 2x บอกเป็นนัยถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองกันดูครับว่า:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
ตัวอย่างเริ่มดีขึ้นเรื่อยๆ!
เราจำได้ว่าเพื่อกำจัดเหตุผล เราจำเป็นต้องมีปริญญาที่บริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ หมายเลข 70 กวนใจเรา ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 70 เราได้:
อ๊ะ! ทุกอย่างดีขึ้น!
นี่คือคำตอบสุดท้าย
อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแท็กซี่ในบริเวณเดียวกันได้ผล แต่การกำจัดไม่ได้ผล สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาเชี่ยวชาญประเภทนี้กันเถอะ
การแทนที่ตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.
มาแก้สมการกัน:
4 x - 3 2 x +2 = 0
ครั้งแรก - ตามปกติ เรามาต่อกันที่ฐานเดียวกันดีกว่า ถึงผีสาง
4 x = (2 2) x = 2 2x
เราได้รับสมการ:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
และนี่คือที่ที่เราแขวนอยู่ เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ได้ผลไม่ว่าคุณจะมองอย่างไร เราจะต้องดึงวิธีการที่ทรงพลังและเป็นสากลออกมาจากคลังแสงของเรา ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร
สาระสำคัญของวิธีการนี้เรียบง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นไอคอนที่ซับซ้อนอันหนึ่ง (ในกรณีของเรา - 2 x) เราเขียนอีกอันที่ง่ายกว่า (เช่น - t) การทดแทนที่ดูเหมือนไร้ความหมายดังกล่าวนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!
ดังนั้นปล่อยให้
จากนั้น 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = เสื้อ 2
ในสมการของเรา เราแทนที่กำลังทั้งหมดด้วย x's ด้วย t:
รุ่งอรุณกับคุณหรือเปล่า?) คุณลืมสมการกำลังสองแล้วหรือยัง? การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
สิ่งสำคัญตรงนี้คืออย่าหยุดเหมือนที่เกิดขึ้น... นี่ไม่ใช่คำตอบ เราต้องการ x ไม่ใช่ t กลับไปที่ X's กันเช่น เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ อันดับแรกสำหรับเสื้อ 1:
นั่นคือ,
พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
อืม... 2 x ทางซ้าย 1 ทางขวา... ปัญหาเหรอ? ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจดจำ (จากการปฏิบัติการที่มีพลัง ใช่...) ว่าเป็นหน่วยหนึ่ง ใดๆตัวเลขยกกำลังศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่จำเป็นเราจะติดตั้งให้ เราต้องการสอง วิธี:
แค่นั้นแหละ. เรามี 2 ราก:
นี่คือคำตอบ
ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังท้ายที่สุดแล้วบางครั้งคุณก็จบลงด้วยการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:
จากเจ็ดเป็นสองผ่าน ระดับง่ายไม่ทำงาน, ไม่เป็นผล. พวกเขาไม่ใช่ญาติกัน...เราจะอยู่ได้อย่างไร? อาจมีคนสับสน... แต่คนที่อ่านหัวข้อ “ลอการิทึมคืออะไร” ในเว็บไซต์นี้ เพียงแค่ยิ้มเท่าที่จำเป็นแล้วจดบันทึก ด้วยมือที่มั่นคงคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:
ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ Unified State จำเป็นต้องมีหมายเลขเฉพาะ แต่ในงาน "C" มันง่าย
บทเรียนนี้ให้ตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด เรามาเน้นประเด็นหลักกัน
1. ก่อนอื่นเรามาดูกันที่ บริเวณองศา เรากำลังสงสัยว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างมันขึ้นมา เหมือนกันมาลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีองศาอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x สามารถแปลงเป็นเลขยกกำลังได้เช่นกัน
2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปแบบเมื่อมีด้านซ้ายและด้านขวา เหมือนตัวเลขที่อยู่ในกำลังใดๆ เราใช้ การกระทำที่มีองศาและ การแยกตัวประกอบอะไรที่นับเป็นตัวเลขได้ เราก็นับ
3. หากเคล็ดลับที่สองไม่ได้ผล ให้ลองใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์อาจเป็นสมการที่สามารถแก้ได้ง่าย ส่วนใหญ่มักจะ - สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นกำลังสองอีกด้วย
4. ในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลได้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องรู้กำลังของตัวเลขบางจำนวนจากการมองเห็น
ตามปกติในตอนท้ายของบทเรียนคุณจะได้รับเชิญให้ตัดสินใจเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน
แก้สมการเลขชี้กำลัง:
ยากขึ้น:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
ค้นหาผลคูณของราก:
2 3's + 2 x = 9
เกิดขึ้น?
ดีละถ้าอย่างนั้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนที่สุด(แต่ก็ตัดสินใจในใจ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
มีอะไรน่าสนใจมากกว่านี้? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างน่าดึงดูดสำหรับความยากลำบากที่เพิ่มขึ้น ฉันขอบอกเป็นนัยว่าในตัวอย่างนี้ สิ่งที่ช่วยให้คุณประหยัดได้คือความเฉลียวฉลาดและเป็นกฎสากลที่สุดในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับการพักผ่อน):
9 2 x - 4 3 x = 0
และสำหรับของหวาน ค้นหาผลรวมของรากของสมการ:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ ทำไมต้องพิจารณาพวกเขาต้องได้รับการแก้ไข!) บทเรียนนี้เพียงพอที่จะแก้สมการได้ คุณต้องมีความฉลาด... และขอให้ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ช่วยคุณได้ (นี่คือคำใบ้!)
คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):
1; 2; 3; 4; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; 4; 0.
ทุกอย่างประสบความสำเร็จใช่ไหม? ยอดเยี่ยม.
มีปัญหาเหรอ? ไม่มีปัญหา! ตอนพิเศษ 555 แก้สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดนี้พร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่า ยังมีข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทุกประเภท ไม่ใช่แค่พวกนี้)
คำถามสนุกข้อสุดท้ายที่ต้องพิจารณา ในบทเรียนนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่?ในสมการ นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก ว่าแต่...
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด
ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?
สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น
สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:
สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:
- ขยายวงเล็บ ถ้ามี
- ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
- ระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
- หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$
แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:
- สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
- ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง
ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง
ตัวอย่างการแก้สมการ
วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น
โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:
- ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
- จากนั้นนำมาที่คล้ายกัน
- สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง
ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย
ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วจะเกิดข้อผิดพลาดเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"
นอกจากนี้ ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว
โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:
- ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
- เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
- เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
- เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"
แน่นอนว่าโครงการนี้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่ และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา
การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ภารกิจที่ 1
ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามไป ขั้นตอนนี้- ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:
เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยค่าสัมประสิทธิ์:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ
ภารกิจที่ 2
เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:
ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้
ภารกิจที่ 3
สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
มีหลายวงเล็บแต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แค่นำหน้าด้วย สัญญาณต่างๆ- มาทำลายพวกเขากัน:
เราทำขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
มาทำคณิตศาสตร์กันดีกว่า:
เราดำเนินการ ขั้นตอนสุดท้าย— หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น
หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:
- อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
- แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ
ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง หรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณได้ทำสิ่งผิด
คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม- จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน
การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการกระทำเช่นนั้นถูกมองข้ามไป
การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน
เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะถูกยกเลิกอย่างแน่นอน
ตัวอย่างหมายเลข 1
แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:
มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:
\[\varไม่มีอะไร\]
หรือไม่มีราก
ตัวอย่างหมายเลข 2
เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นแรก:
มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:
\[\var ไม่มีอะไร\],
หรือไม่มีราก
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย
แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณาสำนวนนี้:
ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม- ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ
และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน
เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:
ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่ไม่สามารถดำเนินการได้อย่างชัดเจนและมีประสิทธิภาพ ขั้นตอนง่ายๆนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆเช่นนี้อีกครั้ง
แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน
การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น
สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม
ภารกิจที่ 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:
มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง
ภารกิจที่ 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:
ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:
ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม
เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต
จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก เราหมายถึง 1-7$ การออกแบบที่เรียบง่าย: ลบเจ็ดจากหนึ่ง ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป
ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ
สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย
การแก้สมการด้วยเศษส่วน
เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:
- เปิดวงเล็บ
- แยกตัวแปร
- เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
- หารด้วยอัตราส่วน.
อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า ในแง่ของประสิทธิภาพทั้งหมด อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง
วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:
- กำจัดเศษส่วน.
- เปิดวงเล็บ
- แยกตัวแปร
- เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
- หารด้วยอัตราส่วน.
“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป
ตัวอย่างหมายเลข 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
ตอนนี้เรามาขยาย:
เราแยกตัวแปร:
เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:
\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า
ตัวอย่างหมายเลข 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว
นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้
ประเด็นสำคัญ
ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:
- รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
- ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
- อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง มีแนวโน้มว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
- สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย
ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!
สมการ
จะแก้สมการได้อย่างไร?
ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา ขึ้นอยู่กับผู้ที่คุณเลือก) สมการเบื้องต้นที่สุด แล้วสมการคืออะไร? ในภาษามนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางประเภทที่มีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบค่า ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการ- นี่คือการค้นหาค่าของ x ที่เมื่อแทนค่าเข้าไป ต้นฉบับการแสดงออกจะทำให้เรามีตัวตนที่ถูกต้อง ฉันขอเตือนคุณว่าอัตลักษณ์คือการแสดงออกที่ไม่ต้องสงสัย แม้แต่กับบุคคลที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยก็ตาม เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการได้อย่างไร?ลองคิดดูสิ
มีสมการทุกประเภท (แปลกใจใช่ไหม?) แต่ความหลากหลายอันไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น
4. อื่น.)
แน่นอนว่าที่เหลือทั้งหมด ที่สำคัญที่สุด ใช่...) ซึ่งได้แก่ ลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เหมาะสม
ฉันจะบอกทันทีว่าบางครั้งสมการ สามคนแรกพวกเขาจะโกงประเภทมากจนคุณจำพวกเขาไม่ได้ด้วยซ้ำ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีผ่อนคลายพวกเขา
และเหตุใดเราจึงต้องมีสี่ประเภทนี้? แล้วไงต่อ สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น, เหตุผลเศษส่วน - ที่สามก พักผ่อนพวกเขาไม่กล้าเลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาตัดสินใจไม่ได้เลย แต่ฉันผิดกับคณิตศาสตร์) เพียงแต่สำหรับพวกเขาแล้วยังมีของพวกเขาเอง การเคลื่อนไหวพิเศษและวิธีการ
แต่สำหรับสิ่งใด ๆ (ฉันขอย้ำ - เพื่อ ใดๆ!) สมการให้พื้นฐานที่เชื่อถือได้และปลอดภัยสำหรับการแก้ปัญหา ทำงานได้ทุกที่และตลอดเวลา รองพื้นตัวนี้ - ฟังดูน่ากลัวแต่มันง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.
จริงๆ แล้ว การแก้สมการประกอบด้วยการแปลงพวกนี้เหมือนกัน 99% ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" อยู่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้อย่างชัดเจน คำใบ้ชัดเจนหรือไม่)
การแปลงสมการที่เหมือนกัน
ใน สมการใดๆหากต้องการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างดั้งเดิมง่ายขึ้น และดังนั้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลง รูปร่าง แก่นแท้ของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า.
โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีผล โดยเฉพาะสมการนอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย การแสดงออกนี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง
ตอนนี้เราจะทำซ้ำทั้งหมด ทั้งหมด ทั้งหมด ขั้นพื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน
พื้นฐานเพราะสามารถประยุกต์เข้ากับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ และอื่น ๆ
การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก: คุณสามารถเพิ่ม (ลบ) ทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือสำนวน (รวมถึงสำนวนที่ไม่รู้จักด้วย!) สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของสมการ
ยังไงก็ตาม คุณใช้การแปลงนี้ตลอดเวลา คุณแค่คิดว่าคุณกำลังโอนเทอมบางเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:
กรณีนี้เป็นที่คุ้นเคย เราย้ายทั้งสองไปทางขวา และเราได้รับ:
ที่จริงแล้วคุณ เอาออกไปจากทั้งสองข้างของสมการคือสอง ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน:
x+2 - 2 = 3 - 2
การย้ายเงื่อนไขไปทางซ้ายและขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงเวอร์ชันย่อของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก และเหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เชิงลึกเช่นนี้? - คุณถาม. ไม่มีสิ่งใดในสมการ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า อดทนไว้ อย่าลืมเปลี่ยนป้ายด้วย แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน นิสัยในการโอนย้ายสามารถนำไปสู่ทางตันได้...
การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง: ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้ ไม่ใช่ศูนย์หมายเลขหรือการแสดงออก นี่คือข้อ จำกัด ที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นแล้ว: การคูณด้วยศูนย์นั้นโง่และการหารนั้นเป็นไปไม่ได้เลย นี่คือการแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณแก้อะไรเจ๋งๆ แบบนี้
ก็เป็นที่ชัดเจน เอ็กซ์= 2. คุณค้นพบมันได้อย่างไร? โดยการคัดเลือก? หรือมันเพิ่งจะเริ่มต้นกับคุณ? เพื่อไม่ให้เลือกและไม่รอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นคนยุติธรรม แบ่งทั้งสองข้างของสมการ 5 เท่า เมื่อหารทางด้านซ้าย (5x) ทั้ง 5 ตัวจะลดลงเหลือเพียง X ล้วนๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจริงๆ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วย 5 เราจะได้ 2.
นั่นคือทั้งหมดที่
มันตลกดี แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสองเท่านั้น!) นี้เป็นพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดว้าว! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างของอะไรและอย่างไรใช่ไหม?)
ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก
เริ่มต้นด้วย อันดับแรกการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ โอนซ้าย-ขวา
เป็นตัวอย่างแก่น้องๆ)
สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:
3-2x=5-3x
มาจำคาถากันเถอะ: "มี X - ไปทางซ้าย ไม่มี X - ไปทางขวา!"คาถานี้เป็นคำแนะนำในการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งแรก) นิพจน์ที่มี X อยู่ทางขวาคืออะไร? 3x- คำตอบไม่ถูกต้อง! ทางด้านขวามือของเรา - 3x! ลบสามเอ็กซ์! ดังนั้นเมื่อเคลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก ปรากฎว่า:
3-2x+3x=5
ดังนั้น X's จึงถูกรวบรวมเป็นกอง เรามาเข้าเรื่องตัวเลขกันดีกว่า มีสามอันทางซ้าย ด้วยสัญญาณอะไร? ไม่ยอมรับคำตอบว่า "ไม่มีเลย"!) ต่อหน้าทั้งสามนั้นไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจริงๆ และนี่หมายความว่าก่อนทั้งสามจะมี บวกนักคณิตศาสตร์จึงตกลงกัน ไม่มีอะไรเขียนซึ่งหมายความว่า บวกดังนั้นใน ด้านขวาทรอยก้าจะถูกโอน ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:
-2x+3x=5-3
เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ทางซ้าย - นำอันที่คล้ายกันมาทางขวา - นับ คำตอบมาทันที:
ในตัวอย่างนี้ การแปลงข้อมูลประจำตัวเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น โอเค.)
ตัวอย่างสำหรับเด็กโต)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง
สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0
ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้โจทย์เฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:
- พวกเขาไม่มีราก
- มีรากเพียงอันเดียว
- พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน
นี่คือความแตกต่างที่สำคัญ สมการกำลังสองจากเส้นตรงซึ่งมีรากอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.
เลือกปฏิบัติ
ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac
คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:
- ถ้า D< 0, корней нет;
- ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
- ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน
โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:
งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0
ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131
การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0
การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง
โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ
อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น
รากของสมการกำลังสอง
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:
สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง
เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 − 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0
สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16
D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:
สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64
D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]
ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0
D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:
อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0
สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:
สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์
แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.
ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:
ตั้งแต่เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:
- หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้ราก 2 อัน สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
- ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.
อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว ถ้าเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย
ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:
งาน. แก้สมการกำลังสอง:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5