Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

|BD| - apskritimo lanko, kurio centras yra taške A, ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.

Tangentas ( įdegis α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .

Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .

Tangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.

Tangentinės funkcijos grafikas, y = tan x

Kotangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie užrašai:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangento ir kotangento savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = tg x ir y = ctg x yra periodiniai su periodu π.

Paritetas

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.

Apibrėžimo ir vertybių sritys didėja, mažėja

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).

	y= tg x	y= ctg x
Taikymo sritis ir tęstinumas
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Didėja		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y= 0	-

Formulės

Išraiškos naudojant sinusą ir kosinusą

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > išvedimo formulės ; kotangentui >>>

Integralai

Serijos išplėtimai

Norėdami gauti x laipsnių liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų plėtimosi narių laipsnių eilutėje nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų, . Taip gaunamos tokios formulės.

Prie .

adresu .
Kur Bn- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
Kur.
Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės funkcijos tangentas ir kotangentas yra atitinkamai arctangentas ir arkotangentas.

Arktangentas, arktg

, Kur n- visas.

Arkotangentas, arcctg

, Kur n- visas.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams, 2012 m.

Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė

Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje nurodomas ženklas √ kvadratinė šaknis. Norėdami nurodyti trupmeną, naudokite simbolį „/“.

taip pat žr naudingos medžiagos:

Dėl nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, sinusas 30 laipsnių - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute „30 laipsnių“, jų sankirtoje skaitome rezultatą - vieną pusę. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą nuodėmės stulpelio ir 60 laipsnių linijos sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Taip pat randamos kitų „populiarių“ kampų sinusų, kosinusų ir liestinių reikšmės.

Sinuso pi, kosinuso pi, tangento pi ir kiti kampai radianais

Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.

Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo priklausomybę nuo kampo laipsnio mato. Taigi pi radianai yra lygūs 180 laipsnių.

Bet kurį skaičių, išreikštą pi (radianais), galima lengvai konvertuoti į laipsnius, pakeičiant pi (π) į 180.

Pavyzdžiai:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.

2. Kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.

3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi liestinė pi yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.

Sinuso, kosinuso, liestinės verčių lentelė kampams nuo 0 iki 360 laipsnių (bendrosios vertės)

kampo α reikšmė (laipsniai)	kampo α reikšmė radianais (per pi)	nuodėmė (sinusas)	cos (kosinusas)	tg (liestinė)	ctg (kotangentas)	sek (sekantas)	cosec (kosekantas)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tai reiškia, kad kai duota vertė Kampo funkcijos laipsnio matas neturi konkrečios reikšmės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, vadinasi, dar neįvedėme reikiamos reikšmės. Mes domimės, kokių užklausų vartotojai kreipiasi į mus ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir liestinių reikšmes visiškai pakanka daugeliui išspręsti. problemų.

Populiariausių kampų trigonometrinių funkcijų sin, cos, tg verčių lentelė
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 laipsnių
(skaitinės reikšmės „pagal Bradis lenteles“)

kampo α vertė (laipsniais)	kampo α reikšmė radianais	nuodėmė (sinusas)	cos (kosinusas)	tg (liestinė)	ctg (kotangentas)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \(AC\)); kojos yra dvi likusios kraštinės \(AB\) ir \(BC\) (tos, esančios greta stačiojo kampo), ir jei atsižvelgsime į kojas kampo \(BC\) atžvilgiu, tada kojelė \(AB\) yra gretima kojelė, o kojelė \(BC\) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas– tai priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kampo kosinusas– tai gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kampo liestinė– tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kampo kotangentas– tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (tolimos) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalinti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .

Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \(1\) . Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis fiksuojama teigiama \(x\) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB\)).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai \(x\) ašies ir koordinatę išilgai \(y\) ašies. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG\) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG\) yra statmena \(x\) ašiai.

Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Teisingai \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC\) yra vienetinio apskritimo spindulys, o tai reiškia \(AC=1\) . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Kam lygi \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Pakeiskite spindulio reikšmę \(AC\) į šią formulę ir gaukite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas \(C\)? Na, niekaip? Ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x\)! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, koordinuokite \(y\)! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Kam tada yra lygūs \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (kaip greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \(y\) ; kampo kosinuso reikšmė - koordinatė \(x\) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x\) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m\) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)

\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas)\)

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Turite atsiminti arba mokėti tai parodyti!! \) !}

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdį:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\pabaiga(masyvas)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), tai žinodami, galite atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis „\(1 \)“ atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), o vardiklis „\(\sqrt(\text(3)) \)“ – \(\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, tada užteks atsiminti tik \(4\) reikšmes iš lentelės.

Apskritimo taško koordinatės

Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išmeskime bendroji formulė rasti taško koordinates. Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5\) . Reikia rasti taško \(P\) koordinates, gautas sukant tašką \(O\) \(\delta \) laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško \(P\) koordinatė \(x\) atitinka atkarpos \(TP=UQ=UK+KQ\) ilgį. Atkarpos \(UK\) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \(x\), tai yra, lygus \(3\) . Atkarpos \(KQ\) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada turime taško \(P\) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Naudodami tą pačią logiką randame taško \(P\) y koordinatės reikšmę. Taigi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), Kur

\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,

\(r\) – apskritimo spindulys,

\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!

Šiame straipsnyje mes parodysime, kaip duoti kampo ir skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijoje. Čia kalbėsime apie užrašus, pateiksime įrašų pavyzdžių ir pateiksime grafines iliustracijas. Pabaigoje nubrėžkime paralelę tarp sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų trigonometrijoje ir geometrijoje.

Puslapio naršymas.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas

Pažiūrėkime, kaip mokykliniame matematikos kurse formuojasi sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento idėja. Geometrijos pamokose pateikiamas stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas. O vėliau tiriama trigonometrija, kuri kalba apie sukimosi kampo ir skaičiaus sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Pateiksime visus šiuos apibrėžimus, pateiksime pavyzdžių ir pateiksime reikiamas pastabas.

Smailusis kampas stačiame trikampyje

Iš geometrijos kurso žinome stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. Jie pateikiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis. Pateiksime jų formuluotes.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė– tai priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė- tai yra gretimos pusės ir priešingos pusės santykis.

Čia taip pat pateikiami sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento pavadinimai - atitinkamai sin, cos, tg ir ctg.

Pavyzdžiui, jei ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C, tai smailiojo kampo A sinusas yra lygus priešingos kraštinės BC santykiui su hipotenuze AB, tai yra sin∠A=BC/AB.

Šie apibrėžimai leidžia apskaičiuoti smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes iš žinomų stačiojo trikampio kraštinių ilgių, taip pat iš žinomos vertės Raskite kitų kraštinių ilgius naudodami sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą ir vienos iš kraštinių ilgį. Pavyzdžiui, jei žinotume, kad stačiakampiame trikampyje kojelė AC lygi 3, o hipotenuzė AB lygi 7, tai smailaus kampo A kosinuso reikšmę galėtume apskaičiuoti pagal apibrėžimą: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Sukimosi kampas

Trigonometrijoje jie pradeda žiūrėti į kampą plačiau – įveda sukimosi kampo sąvoką. Sukimosi kampo dydis, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių. Sukimosi kampas laipsniais (ir radianais) gali būti išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi nuo −∞ iki +∞.

Atsižvelgiant į tai, sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai pateikiami ne ūmaus kampo, o savavališko dydžio kampo - sukimosi kampo. Jie pateikiami per taško A 1 x ir y koordinates, į kuriuos po jo pasukimo kampu α aplink tašką O eina vadinamasis pradžios taškas A(1, 0) – stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžia. ir vieneto apskritimo centras.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo sinusasα yra taško A 1 ordinatė, tai yra sinα=y.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kosinusasα vadinama taško A 1 abscisėmis, tai yra cosα=x.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo liestinėα yra taško A 1 ordinatės ir jo abscisių santykis, tai yra, tanα=y/x.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kotangentasα yra taško A 1 abscisių santykis su jo ordinatėmis, tai yra, ctgα=x/y.

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kuriam kampui α, nes visada galime nustatyti taško abscisę ir ordinatę, kuri gaunama pasukus pradinį tašką kampu α. Bet tangentas ir kotangentas nėra apibrėžti jokiam kampui. Tangentė neapibrėžta kampams α, kuriame pradžios taškas eina į tašką, kurio abscisės yra nulinės (0, 1) arba (0, −1), ir tai vyksta kampuose 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Iš tiesų, esant tokiems sukimosi kampams, išraiška tgα=y/x neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Kalbant apie kotangentą, jis neapibrėžtas kampams α, kuriame pradžios taškas eina į tašką su nuline ordinate (1, 0) arba (-1, 0), ir tai vyksta kampams 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Taigi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems sukimosi kampams, liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), o kotangentas – visiems kampams, išskyrus 180° ·k. , k∈Z (π·k rad).

Apibrėžimai apima mums jau žinomus pavadinimus sin, cos, tg ir ctg, jie taip pat naudojami žymėti sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą (kartais galite rasti pavadinimus tan ir cot, atitinkančius liestinę ir kotangentą). . Taigi 30 laipsnių sukimosi kampo sinusas gali būti parašytas kaip sin30°, įrašai tg(−24°17′) ir ctgα atitinka sukimosi kampo liestinę −24° 17 minučių ir sukimosi kampo α kotangentą. . Prisiminkite, kad rašant radianinį kampo matą, pavadinimas „rad“ dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, trijų pi rad sukimosi kampo kosinusas paprastai žymimas cos3·π.

Apibendrinant šį punktą, verta paminėti, kad kalbant apie sukimosi kampo sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą, dažnai praleidžiama frazė „sukimosi kampas“ arba žodis „sukimas“. Tai yra, vietoj frazės „sukimosi kampo alfa sinusas“ dažniausiai vartojama frazė „alfa kampo sinusas“ arba, dar trumpiau, „sinuso alfa“. Tas pats pasakytina apie kosinusą, tangentą ir kotangentą.

Taip pat pasakysime, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka ką tik pateiktus sukimosi kampo nuo 0 iki 90 laipsnių sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimus. Mes tai pateisinsime.

Skaičiai

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, lygus sukimosi kampo sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui atitinkamai t radianais.

Pavyzdžiui, skaičiaus 8·π kosinusas pagal apibrėžimą yra skaičius, lygus 8·π rad kampo kosinusui. O kampo 8·π rad kosinusas lygus vienetui, todėl skaičiaus 8·π kosinusas lygus 1.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Jį sudaro tai, kad kiekvienas realusis skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, kurio centras yra stačiakampės koordinačių sistemos pradžioje, o sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates. Pažvelkime į tai išsamiau.

Parodykime, kaip nustatoma atitiktis tarp realiųjų skaičių ir apskritimo taškų:

• skaičiui 0 priskiriamas pradžios taškas A(1, 0);
• teigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei judėsime išilgai apskritimo nuo pradžios taško prieš laikrodžio rodyklę ir eisime t ilgio taku;
• neigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei judėsime išilgai apskritimo nuo pradžios taško pagal laikrodžio rodyklę ir eisime |t| .

Dabar pereiname prie skaičiaus t sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Tarkime, kad skaičius t atitinka tašką apskritime A 1 (x, y) (pavyzdžiui, skaičius &pi/2; atitinka tašką A 1 (0, 1)).

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatė, tai yra sint=y.

Apibrėžimas.

Skaičiaus kosinusas t vadinama vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, abscise, tai yra kaina=x.

Apibrėžimas.

Skaičiaus liestinė t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės ir abscisių santykis, tai yra, tgt=y/x. Kitoje lygiavertėje formuluotėje skaičiaus t liestinė yra šio skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis, ty tgt=sint/cost.

Apibrėžimas.

Skaičiaus kotangentas t yra abscisių ir apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės santykis, ty ctgt=x/y. Kita formuluotė yra tokia: skaičiaus t liestinė yra skaičiaus t kosinuso ir skaičiaus t sinuso santykis: ctgt=kaina/sint.

Atkreipiame dėmesį, kad ką tik pateikti apibrėžimai atitinka šios pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą. Iš tiesų, vienetinio apskritimo taškas, atitinkantis skaičių t, sutampa su tašku, gautu pasukus pradinį tašką t radianų kampu.

Vis tiek verta paaiškinti šį dalyką. Tarkime, kad turime įrašą sin3. Kaip suprasti, ar kalbame apie skaičiaus 3 sinusą, ar apie 3 radianų sukimosi kampo sinusą? Paprastai tai aišku iš konteksto, kitu atveju tai greičiausiai nėra esminė.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Pagal ankstesnėje pastraipoje pateiktus apibrėžimus, kiekvienas sukimosi kampas α visiškai atitinka konkrečią vertę sinα yra tokia pati kaip cosα reikšmė. Be to, visi sukimosi kampai, išskyrus 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) atitinka tgα reikšmes, o kitokias nei 180°k vertes, k∈Z (πk rad ) – vertes. ctgα. Todėl sinα, cosα, tanα ir ctgα yra kampo α funkcijos. Kitaip tariant, tai yra kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie skaitinio argumento sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcijas. Iš tiesų, kiekvienas realusis skaičius t atitinka labai konkrečią reikšmę sint, taip pat kainą. Be to, visi skaičiai, išskyrus π/2+π·k, k∈Z, atitinka tgt reikšmes, o skaičiai π·k, k∈Z – reikšmes ctgt.

Vadinamos funkcijos sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto paprastai aišku, ar mes kalbame apie kampinio argumento ar skaitinio argumento trigonometrines funkcijas. Kitu atveju galime manyti, kad nepriklausomas kintamasis yra ir kampo matas (kampinis argumentas), ir skaitinis argumentas.

Tačiau mokykloje daugiausia tiriame skaitines funkcijas, tai yra funkcijas, kurių argumentai ir atitinkamos funkcijų reikšmės yra skaičiai. Todėl, jei kalbame konkrečiai apie funkcijas, patartina trigonometrines funkcijas laikyti skaitinių argumentų funkcijomis.

Ryšys tarp apibrėžimų iš geometrijos ir trigonometrijos

Jei apsvarstysime, kad sukimosi kampas α svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių, tada sukimosi kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijos kontekste visiškai atitinka sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. smailusis kampas stačiakampiame trikampyje, kurie pateikiami geometrijos kurse. Pateisinkime tai.

Vienetinį apskritimą pavaizduokime stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy. Pažymėkime pradžios tašką A(1, 0) . Pasukime jį kampu α nuo 0 iki 90 laipsnių, gausime tašką A 1 (x, y). Numeskime statmeną A 1 H iš taško A 1 į Ox ašį.

Nesunku pastebėti, kad stačiakampiame trikampyje kampas A 1 OH yra lygus sukimosi kampui α, o greta šio kampo esančios kojos OH ilgis lygus taško A 1 abscisei, tai yra |OH |=x, kampui priešingos kojos A 1 H ilgis yra lygus taško A 1 ordinatėms, tai yra |A 1 H|=y, o hipotenuzės OA 1 ilgis yra lygus vienetui, kadangi tai vienetinio apskritimo spindulys. Tada pagal geometrijos apibrėžimą stačiojo trikampio A 1 OH smailiojo kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzos santykiui, tai yra sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ir pagal apibrėžimą iš trigonometrijos, sukimosi kampo α sinusas yra lygus taško A 1 ordinatei, tai yra sinα=y. Tai rodo, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso nustatymas yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai α yra nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti, kad smailaus kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka sukimosi kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 klasės: vadovėlis bendrajam lavinimui institucijos / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kt.]. – 20-asis leidimas M.: Išsilavinimas, 2010. - 384 p.: iliustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelovas A.V. Geometrija: vadovėlis. 7-9 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. V. Pogorelovas. - 2 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2001. - 224 p.: iliustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ir elementariosios funkcijos: Pamoka 9 klasės mokiniams vidurinė mokykla/ E. S. Kočetkovas, E. S. Kočetkova; Redagavo fizinių ir matematikos mokslų daktaras O. N. Golovinas – 4 leidimas. M.: Išsilavinimas, 1969 m.
4. Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovičius A. G. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 2 dalyse 1 dalis: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-asis leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai /[Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; Redaguota A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - I.: Išsilavinimas, 2010.- 368 p.: iliustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla - 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Trigonometrija – pjūvis matematikos mokslas, kuriame nagrinėjamos trigonometrinės funkcijos ir jų panaudojimas geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo senovės Graikijoje. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo plėtros.

Šis straipsnis skirtas pagrindinės sąvokos ir trigonometrijos apibrėžimai. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Jų reikšmė paaiškinama ir iliustruojama geometrijos kontekste.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti stačiojo trikampio kraštinių santykiu.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai

Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.

Kampo kosinusas (cos α) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė (t g α) – priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis.

Kampo kotangentas (c t g α) – gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis.

Šie apibrėžimai pateikiami stačiojo trikampio smailiam kampui!

Pateikime iliustraciją.

Trikampyje ABC su stačiu kampu C kampo A sinusas yra lygus kojos BC ir hipotenuzės AB santykiui.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes iš žinomų trikampio kraštinių ilgių.

Svarbu atsiminti!

Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas yra nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinusas ir kosinusas turi reikšmes nuo -1 iki 1. Tangento ir kotangento verčių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra, šios funkcijos gali įgyti bet kokias reikšmes.

Aukščiau pateikti apibrėžimai taikomi smailiesiems kampams. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo sąvoka, kurios reikšmė, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo – ∞ iki + ∞. .

Šiame kontekste galime apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokime vienetinį apskritimą, kurio centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.

Pradinis taškas A su koordinatėmis (1, 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1. Apibrėžimas pateiktas taško A 1 (x, y) koordinatėmis.

Sukimosi kampo sinusas (sin).

Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sin α = y

Sukimosi kampo kosinusas (cos).

Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x

Sukimosi kampo liestinė (tg).

Sukimosi kampo α liestinė yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x

Sukimosi kampo kotangentas (ctg).

Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžta, kai taškas po pasukimo eina į tašką, kurio abscisė yra nulinė (0, 1) ir (0, - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė eina į nulį.

Svarbu atsiminti!

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.

Liestinė apibrėžta visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Spręsdami praktinius pavyzdžius, nesakykite „sukimosi kampo sinuso α“. Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, apie ką kalbama.

Skaičiai

O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, kuris yra atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.

Pavyzdžiui, skaičiaus 10 sinusas π yra lygus 10 π rad sukimosi kampo sinusui.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Pažvelkime į tai atidžiau.

Bet koks tikrasis skaičius t vienetinio apskritimo taškas yra susietas su centru stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates.

Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1, 0).

Teigiamas skaičius t

Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį eis pradžios taškas, jei jis judės aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę ir praeis kelią t.

Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.

Sine (nuodėmė) iš t

Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y

Kosinusas (cos) iš t

Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x

t liestinė (tg).

Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t

Naujausi apibrėžimai atitinka ir neprieštarauja šios pastraipos pradžioje pateiktam apibrėžimui. Taškas ant apskritimo, atitinkančio skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus kampu t radianas.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip nurodyta aukščiau, apibrėžiamas visiems α, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Galime sakyti, kad sin α, cos α, t g α, c t g α yra kampo alfa funkcijos arba kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka tam tikrą skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k, k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas taip pat apibrėžiamas visiems skaičiams, išskyrus π · k, k ∈ Z.

Pagrindinės trigonometrijos funkcijos

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto dažniausiai aišku, su kokiu trigonometrinės funkcijos argumentu (kampiniu ar skaitiniu argumentu) mes susiduriame.

Grįžkime prie pačioje pradžioje pateiktų apibrėžimų ir alfa kampo, kuris yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai visiškai atitinka geometrinius apibrėžimus, pateiktus stačiojo trikampio kraštinių santykiu. Parodykime.

Paimkime vienetinį apskritimą su centru stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Pradinį tašką A (1, 0) pasukime iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkime statmeną abscisių ašiai. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus sukimosi kampui α, kojelės O H ilgis lygus taško A 1 (x, y) abscisei. Priešingos kampo kojos ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.

Pagal geometrijos apibrėžimą kampo α sinusas yra lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso nustatymas pagal kraštinių santykį yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai alfa yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Grįžti